Сопротивление материалов

2. Деформационная проверка решения.

Умножая суммарную эпюру крутящих моментов (МΣ) на эпюру M1 по правилу Верещагина, определяем угол закручива-

ния сечения С относительно В, который по условию закрепления должен быть равен нулю.

Погрешность составляет 0,07 %.

3. Расчет размеров поперечного сечения вала.

Принять [τ] = 80 МПа. Опасные сечения будут на участке ВЕ, так как здесь наблюдается наибольший крутящий момент при наименьшем диаметре вала.

Из условия прочности

τmax = | MΣ |max ≤[τ],

Wρ1

171

Принимаем диаметр d1 = 28 мм, d2 = 32 мм, d3 = 30 мм. 4. Определение угла закручивания сечения А.

Для определения угла закручивания сечения А приложим в основном состоянии единичный скручивающий момент Mк1 =1

в этомсечении ипостроим эпюру Mк (см. рис. 8.33, ж).

Перемножая эпюру МΣ и эпюру Mк по правилу Верещагина, определим угол закручивания сечения А.

или

ϕA =3,3 10−3 180o = 0,19o . 3,14

Расчет статически неопределимых систем при растяжении-сжатии

Пример

Для стержня, показанного на рис. 8.34, определить:

а) диаметр на различных участках из условия прочности; б) перемещение сечения 1-1 стержня.

172

Вгун). Модуль продольной упругости:

рис. 8.34.

Основная система может быть выбрана путем отбрасывания связи А или В (рис. 8.35, а).

Загружая основную систему силами F1, F2 и неизвестной силой Х1, получаем эквивалентную систему (см. рис. 8.35, б).

Неизвестная сила Х1 определяется из канонического уравнения:

δ11Х1 + ∆1F = 0.

Коэффициент δ11 и свободный член уравнения ∆1F определяем по способу Верещагина.

δ11 =1E2lА1 + E1 l31А + E1 l21А = 617EАl ;

X1 = −30,59 кН.

173

174

Рис. 8.35.

174

Строим эпюру N 1 = N1 X1 (см. рис. 8.35, д).

2. Построить суммарную эпюру продольных сил. На основании принципа независимости действия сил NΣi = NFi + NX1i .

Эпюра продольных сил (NΣ) приведена на рис. 8.35, е.

3. Деформационная проверка решения.

Перемножая по правилу Верещагина эпюру NΣ и эпюру N1, определяем перемещение сечения А, которое по условию наложенной связи должно быть равно нулю.

−70,59EА l = ElА(−7,65 +12,35 +16, 47 + 49, 41−70,59) =

=ElА(−78, 24 + 78, 23) ≈ 0,E01А .

Погрешность составляет: ε = 78,0,0123 100 % ≈ 0,013 % .

4. Рассчитать размеры поперечного сечения стержня

σmax = NmaxА ≤[σ].

Наиболее опасными сечениями являются сечения на участке ВK. На этом участке наибольшая продольная сила N = 70,59 кН при наименьшем сечении стержня. Принимая коэффициент запаса n = 1,5, определяем допускаемое напряжение

[σ]= σnT = 3001,5 = 200 МПа в случае стального стержня (сталь 30). Определяем диаметр d1 на 1-м участке.

175

Принимаемпонормальномурядулинейныхразмеровd1 = 22 мм.

Напряжение в этом случае будет равно

σ+

Для чугунного стержня [σ]+ = [пчn] ; n = 2,5;

[σ]+ = 2802,5 =112 МПа.

×100 % = 2, 4 % , что допустимо.

176

Уравнений статики, свойственных для данной системы, можно записать 3. Следовательно, задача один раз статически неопределима.

2. Раскрыть статическую неопределимость системы.

Выбирается основная система путем отбрасывания связи K или D (рис. 8.37). Основная система превращается в эквивалентную систему (рис. 8.38). Коэффициенты канонического уравнения δ11Х1 + ∆1F = 0 определяются способом Верещагина. На рис. 8.39, 8.40 приведены эпюры продольных сил в основном

состоянии от сил F1, F2 и X1 =1. Усилия в стержнях от заданных сил F1, F2 и X1 =1 определяются из уравнения статики

Стержень 1 – сжимается.

178

X1 l +N1 2l =0; X1 =1; N1 = − 0,5.

Учитывая, что N1 = = N1 X1 и NΣi = NFi +N1 , строим эпюры

N1 (рис. 8.41) и NΣ (рис. 8.42).

3. Деформационная проверка.

Перемножая по правилу Верещагина эпюру NΣ и эпюру N1 , определяем перемещение связи K, которое по условию равно нулю.

179

4.Определить диаметры стержней из условия прочности

σ= NA =[σ]. Напряжение в первом и втором равны по величине

Вопросы для самопроверки

1.Что называется статически неопределимыми системами?

2.Как определяется степень статической неопределимости?

3.Что понимается под заданной, основной и эквивалентной системами?

4.Какой физический смысл заложен в канонических уравнениях метода сил?

5.Какие упругие стержневые системы называются симметричными и кососимметричными с точки зрения нагружения?

6.Что дает использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости?

7.Для чего проводится деформационная проверка при раскрытии статической неопределимости?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источники [1] (гл. 6, § 6.1–6.6); [2] (гл. 7, § 22–24).

180