Сопротивление материалов

г) вогнутость на криволинейных участках эпюры θ направлена в сторону эпюры Qy (рис. 7.4, в, д). Вогнутость на криволинейных участках эпюры v направлена в сторону изгибающего момента Mx (рис. 7.4, г, е);

д) в тех сечениях, где θ = 0, на эпюре v наблюдается аналитический максимум или минимум;

е) в сечениях балки, где есть промежуточные шарниры, на эпюре θ будут скачки, на эпюре v – изломы.

7.3. Определение перемещений методом Мора

Практическое применение метода начальных параметров, также как и непосредственное интегрирование дифференциального уравнения упругой линии для некоторых систем имеет сложности. В практике обычно возникает необходимость оценки перемещений в конкретных сечениях конструктивных элементов. Эту задачу успешно решил немецкий ученый Отто Христиан Мор в 1874 г. Метод Мора является универсальным методом определения линейных и угловых перемещений, возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.

В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах, в арках можно пренебречь влиянием продольных деформаций и деформаций от сдвига, учитывая лишь перемещения, вызываемые только изгибом и кручением. В этом случае для плоской системы интеграл Мора имеет вид

В случае растяжения или сжатия сохраняется лишь член, содержащий продольную силу:

121

ренние силовые факторы на i-м участке: соответственно изгибающий момент, продольная сила и крутящий момент от внеш-

ней нагрузки; M i , N i , M ki – единичные силовые факторы – соответственно изгибающий момент, продольная сила, крутящий момент на i-м участке от силы, равной единице, приложенной в том сечении, где необходимо найти линейное перемещение, или от момента, равного единице, приложенного в сечении

J pi – полярный момент инерции), Ji – осевой момент инерции

сечения на i-м участке.

Методика определения перемещений методом Мора может быть сведена к следующим пунктам.

1. Определяют реакции на опорах, разбивают систему на участки, выбирают направление обхода участков, записывают выражения для грузовых силовых факторов на i-х участках:

M Fi , NFi , MkFi .

2. Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где необходимо определить перемещение. При определении линейного перемещения в заданном направлении прикладывают единичную силу, при определении углового перемещения – единичный момент.

122

3. Определяют реакции на опорах для вспомогательной системы и, соблюдая тот же обход участков, что и в грузовом

состоянии, записывают на i-х участках M i , N i , M ki .

4.Вычисляют интегралы Мора по участкам в пределах всей системы. В соответствии с вышеуказанным при расчете плоских балок, рам и арок исходят из зависимости (7.10), при расчете ферм – из (7.12), при кручении – из (7.13).

5.Если искомое перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы; если отрицательный знак – действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.

7.4. Определение перемещений способом Верещагина

Для конструкций, состоящих из прямолинейных стержней с постоянным поперечным участком на i-м участке, интегралы Мора удобно вычислять по формуле Верещагина:

Рассматриваемый подход представляет собою графоаналитический способ. В формуле (7.14) ωi – площадь эпюры грузо-

вого силового фактора; M сi – значение ординаты единичного силового фактора под центром тяжести площади ωi ; n – число

площадей. Перемещения по способу Верещагина определяют следующим образом.

1. Строят эпюру изгибающих моментов M F для заданной системы от внешней нагрузки.

2.Составляют схему единичного загружения и строят эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки M .

3.Разбивают эпюры M F и M на n одинаковых участков так, чтобы выполнялись следующие условия:

a) под каждым участком эпюры M Fi лежал линейный (без

изломов и скачков) участок эпюры M ;

123

б) можно было применить известные формулы для вычисления площадей ωi участков эпюры M F и положение центров тяжести этих площадей;

определяется так же, как в методе Мора.

Рис. 7.5.

Для того чтобы пользоваться формулой Верещагина, надо знать площадь ω и положение центра тяжести для характерных фигур. На рис. 7.5 приводятся необходимые справочные данные.

124

7.5. Примеры определения перемещений методом Мора и способом Верещагина

Пример

Для заданной стальной балки (рис.7.6, а) подобрать стандартный двутавр из условия прочности. Определить прогиб и угол поворота сечения С, [σ] = 160 МПа, Е = 2 105 МПа.

Решение

Рис. 7.6.

1. Составить уравнения поперечных сил Qy и изгибающих моментов МF от внешней нагрузки и построить их эпюры.

125

Для консольных балок эпюрыQ и Мможно строитьбезопределения реакций в заделке, если анализ на участках проводить со стороны свободного конца балки в направлении защемления. Выделим балки и участки балки (см. рис. 7.6, а), запишем выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.

0 ≤ z1 ≤ 2,0 м; Q =0;

MF (z1) = M =20 кН м; 0 ≤ z2 ≤ 4,0 м;

Qy =q z2; Qy (0) =0; Qy (4) =10 4 = 40 кН;

MF (4) = 20 −10 42 =−60 кН м. 2

Строим эпюру Qy (рис. 7.6, б) и МF (рис. 7.6, в).

2. Подобратьдвутавровоесечениеизусловияпрочностипоσmax. Определяем требуемый момент сопротивления изгибу:

к заданной балке безразмерную силу, равную единице в точке С (рис.7.6, г). Разбиваем схему единичного нагружения на такие же участки, что и на схеме грузового нагружения (см. рис. 7.6, а). Записываем для каждого участка выражения изгибающих момен-

тов M1 от единичной нагрузки M .

0 ≤ z1 ≤ 2,0 м;

M1(z1) = −1 z1; 0 ≤ z2 ≤ 4;

M1(z2 ) = −1 (2 + z2 ).

126

Записываем интегралы Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения С.

(рис. 7.6, д), определив ординаты этой эпюры на границах участков.

M1 (0)= 0; M1 (2)= −2 м; M1 (4)= −6 м.

Определяем площади ωi участков эпюры МF и ордина-

ты M Ci эпюры M1 , расположенные под центрами тяжести площадей ωi . На первом участке площадь прямоугольника

ω1 = 20 2 = 40 кН м2. Центр тяжести прямоугольника ω1 имеет

координату z1 = 1 м. Вычисляем ординату M c1 эпюры

M c1 = M1(1) = −1 м.

Второй участок эпюры МF разбиваем на две фигуры: а) выпуклый треугольник с основанием b = 4 м и высотой 80 кНм, располо-

женный выше оси отсчета. Его площадь ω2 = 23 4 80 кН м2 =

127

нием b = 4 м, высотой 60 кН м, расположенный ниже оси отсчета.

ω3 = −4 60 = −240 кН м2 ; z3 = 2 м; M c3 = M3(2) = −(2 +2) = −4,0 м

Определяем прогиб сечения С по формуле Верещагина.

5. Определить угол поворота сечения С способомВерещагина. Составляем схему единичного нагружения, прикладывая к заданной балке безразмерный момент, равный единице в точке

С (рис. 7.6, ж). Строим эпюру моментов M 2 от этого нагруже-

ния. Все ординаты M эпюры M 2 равны 1. Площади участков

эпюры МF уже определены. Вычисляем угол поворота сечения С по формуле Верещагина.

Пример

Для заданной рамы (рис.7.7, а) подобрать номер двутавра из условия прочности. Определить горизонтальное перемещение сечения А, вертикальное перемещение сечения С и угол поворота сечения В. Принять [σ] = 160 МПа, Е = 2 105 МПа.

128

Решение

Определяем реакции опор Аи Визусловийравновесия рамы:

∑Fx =0; q b−HB =15 2−HB =0; HB =30 кН.

∑MB =0; F(a+l)−q b a+b−b2 +M −RA l =20 4−15 2 2+10−RA 3=0;

RA =10 кН;

∑Fy =0; −F+RA+RB =−20+10+RB =0; RB =10 кН.

Для контроля правильности найденных реакций на опорах составим сумму моментов всех сил относительно точки С:

∑Mc = q b b2 + RA a + M − HB (a +b) + RB (a +l) = =15 2 22 +10 1 +10 −30 3 +10 4 = 90 −90 = 0,

т.е. реакции RA, RB и МВ найдены верно.

2. Выделяем 4 силовых участка (см. рис. 7.7, а), составляем уравнения внутренних усилий и находим их значения на границах участков.

0 ≤ z4 ≤ 3,0 м, NF = −10 кН, QF = 30 кН,

M F = −30z4 , M F (0) = 0, M F (3,0) = −90 кН м.

Строим эпюры NF (рис. 7.7, б), QF (рис. 7.7, в), МF (рис. 7.7, г). Эпюра изгибающих моментов построена со стороны сжатых волокон рамы.

129

3. Подбираем стандартный двутавр из условия прочности

Подбираем по ГОСТ 8239–72 двутавр № 33 (Wx = 597 см3, Jх = 9840 см4, A = 53,8 см2). Проверим прочность подобранного двутавра с учетом напряжений от продольной силы N = 30 кН, действующей в сечении D, т.е. там же, где и Мmax:

=150,8 +5,6 =156,4 МПа <[σ] =160 МПа.

Условие прочности выполняется. Следовательно, двутавр

№33 может быть использован для изготовления этой рамы.

4.Определяем горизонтальное перемещение сечения А способом Верещагина. К раме, освобожденной от заданных нагрузок, прикладываем в сечении А горизонтальную безразмерную единичную силу и, определив опорные реакции от нее, строим

эпюру изгибающих моментов M1 (рис. 7.7, д). Перемещение сечения А в горизонтальном направлении находим перемноже-

нием эпюр МF и M1 по формуле Верещагина.

На участке левой стойки используем формулы, приведенные на рис. 7.5, б. Для ригеля трапецию разбиваем на два тре-

130