Сопротивление материалов

Здесь х0 и у0 – координаты любой точки нейтральной линии. Уравнение нейтральной линии будет иметь вид

Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат (рис. 10.2).

По уравнению можно определить отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях. Обозначим эти отрезки (см. рис. 10.2) через ах и ау.

Если принять, что у0 = 0, х0 = ах, то из уравнения (10.3) получим

Принимая х0 = 0, у0 = ау, будем иметь

Решая эти уравнения, получим отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях:

Исследование этих формул показывает, что точка приложения силы и нейтральная ось лежат по разные стороны относительно центра тяжести сечения.

Отметим, что нейтральная линия делит поперечное сечение стержня на две зоны – сжатую и растянутую. Проводя параллельно нейтральной линии касательные к контуру сечения, най-

211

дем опасные точки С и D, лежащие в растянутой и сжатой зонах

(см. рис. 10.2).

Условие прочности для стержня из пластичного материала запишется в виде

где хоп и yоп – координаты точки, наиболее удаленной от нейтральной линии (точка D на рис. 10.2).

Для стержней, выполненных из неравнопрочного материала, расчет на прочность ведется для двух опасных точек (в растянутой и сжатой зонах).

Условия прочности имеют вид:

ответственно в растянутой и сжатой зонах.

10.3. Ядро сечения

Из анализа формул (10.4) можно отметить характерные особенности, связанные с поведением нейтральной линии при различных положениях силы F. Если сила F приложена в центре тяжести сечения (хF = 0, уF = 0), то нейтральная линия отсекает на координатных осях отрезки равные бесконечности (ах = ∞,

ау = ∞). Напряжение при этом определяется выражением

σ = FA , т.е. имеется центральное растяжение или сжатие с рав-

212

номерным распределением напряжений по всему сечению. С увеличением координат точки приложения силы хF и уF нейтральная линия будет приближаться к сечению и при некотором положении точки приложения силы (1 на рис. 10.3) она коснется контура сечения (линия n1 − n1). При дальнейшем увеличении эксцентриситета нейтральная линия пересечет контур сечения (см. рис. 10.2), разделив все сечение на две области – растянутую и сжатую. Понятно, что в случае, когда нейтральная линия касается контура сечения, все сечение испытывает напряжение одного знака. Отсюда следует определение ядра сечения как области, очерченной вокруг центра тяжести и специфичной тем, что продольная сила, приложенная в любой точке этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака. Из определения ядра сечения вытекает порядок его построения: задаваясь всевозможными положениями нейтральной линии как касательной к контуру сечения, вычисляют соответствующие координаты полюса силы:

Совокупность полученных точек дает контур ядра сечения. На рис. 10.3 приведены сечение и построенное для него ядро. Показаны положения, которые нейтральная линия последовательно занимает при ее «обкатке» вокруг контура сечения, и соответствующие этим положениям точки приложения силы. При этом перемещение полюса силы между точками 1 и 2, 2 и 3,

5 и 1 происходит по прямым линиям.

Обоснованием перехода между точками приложения силы по прямым линиям является легко доказываемая теорема: если нейтральная линия вращается вокруг некоторой точки А, то сила F перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.

Для доказательства покажем, что при любом положении силы FС на прямой 1−2 линия nC − nC проходит через точку А,

т.е. σА = 0 (рис. 10.4).

213

Получаем точку 1 ядра сечения. Для второго положения нейтральной

линии n2-n2 ax =b2 =57,5 мм, ау = ∞.

Соответственно,

этом полюс силы между точками 1 и 2 перемещается по прямой. Повторяя рассуждения по отношению к положению нейтральной линииn3-n3 и n4-n4, получим точки 3 и 4 ядра сечения.

Таким образом, ядро сечения для двутаврового профиля имеет вид ромба.

Пример 2

Чугунный короткий стержень (рис. 10.6) сжимается силой F, приложенной в точке А, b = 5 см, [σ]р = 60 МПа,

[σ]сж =140 МПа. Определить допустимую силу F. Построить ядро сечения.

Решение

1. Определение центра тяжести сечения.

Ось yC является осью симметрии, следовательно, главной центральной осью. Разбиваем рассматриваемое сечение на две простые фигуры: 1 – полуокружность, 2 – прямоугольник. За вспомогательные оси выберем главные центральные оси полуокружности y1, x1.

215

2. Определение осевых моментов инерции сечения относительно главных центральных осей xС, yС:

Jx = JxI + JxII = Jx1 + A1 a12 + Jx2 + A2 a22 ,

Ix1 = 0,11R4 = 0,11 2,54 = 4,3 см4 , Jx2 = b(123b)3 = 5 12153 =1406,25 см4 ,

a1 =−yC =7,57 см, a2 = y2 − yС =(−8,56 +7,57)=−0,99 см,

Jx =4,3+9,81 (−7,57)2 +1406,26+75(−0,99)2 =2046,2 см4 =20,46 10−6 м4.

Главная ось уС проходит через центры тяжести элементов (оси у1, у2 совпадают с осью уС), следовательно, момент инерции относительно этой оси будет равен:

J y = J yI + J yII = J y1 + J y2 ,

J y2 = 3b12b3 =151253 =156, 25 см4 ,

Jy =15,33 +156,25 =171,58 см4 ≈1,72 10−6 м4.

3.Определение положения нейтральной линии. Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях xС и yС, определяем по

формулам (10.4):

где

217

xF = b2 = 2,5 см, yF = 32b + a2 = (7,50 +0,99)=8, 49 см,

Откладываем полученные отрезки (координаты) на соответствующих осях и проводим нейтральную линию (см. рис. 10.6). Определим наиболее удаленные точки поперечного сечения, проведя линии, параллельные нейтральной линии и касательные к контуру сечения. Наибольшие напряжения возникают в точках А и В, как наиболее удаленных. Координаты точек:

218

5. Определение допустимой силы F. Из условия прочности на сжатие

=167,703 103Н=167,703 кН.

Из условия прочности на растяже-

ние

вующих точек приложения силы F по

заданным положениям нейтральной линии, касающейся контура поперечного сечения (рис. 10.7) на основании выражений

Координаты точек силы F, лежащие на границе ядра сечения, имеют следующие значения в зависимости от положений нейтральной линии:

ay =8,49 см, ax = ∞,

219

i2

xF = − ay = 0;

положение 6–6, α = 45o : по аналогии с положением нейтральной линии 5–5: ay = −10,05 см,

220