Сопротивление материалов

Определяем экстремальное значение изгибающего момента в пролете от сил, действующих в вертикальной плоскости.

3. Определениеэкстремальногозначениярасчетногомомента.

На основании формулы (9.8) расчетный изгибающий момент на первом участке для прямоугольного сечения при K = 2 равен

Мрасч =| Мх | +K | Му |= 37,5 z1 −10 z12 +2 5z1 = 47,5z1 −10z12 ,

Экстремальное значение расчетного момента

Мрасчэкстр = 47,5 2,375 −10 2,3752 =56,41 кН м.

Расчетный изгибающий момент в сечении В:

Мрасч =10 +2 20 =50 кН м.

Мрасч.max = 77,5 3,875 −10 3,8752 =150,15 кН м.

На опоре В

201

Мрасч =10 +8 20 =170 кН м.

Опасным сечением для двутавра будет сечение В с Мрасч.max = =170 кН м.

4. Подборсеченийизусловияпрочности σmax = Мрасч.max ≤[σ]:

Wx

а) прямоугольное сечение:

σmax = 123110103 −6 (10 +12,19 20)=106 (198) Па =198 МПа.

2-е приближение:

J y =10473 см4 , F =100 см2 , Jx =39727 см4 ,

202

σmax = 158910103 −6 (10 +12,92 20)=169 106 Па =169 МПа.

Перенапряжение составляет

ε =169160−160 102 =5,6 %. 3-е приближение:

Недонапряжение составляет

ε = 160 −137 102 =14,15 %. 160

Принимаем двутавр № 50.

Определим отношение площадей прямоугольного сечения и двутавра.

Из найденного отношения следует, что значительная рациональность двутавровых сечений по отношению к прямоугольным, полученная при плоском поперечном изгибе, ощутимо снижается при косом изгибе.

6. Определим рациональное положение балок. Повернем сечения балок на 90°.

Мрасч = Мх + K1 Му .

203

Для прямоугольника

Мрасч =37,5z1 −10z12 + 12 5z1 = 40z1 −10z12 ,

Рис. 9.7.

Положение сечения на рис. 9.7 не рациональное, так как напряжения значительно возросли.

Двутавровое сечение:

Мрасч.max =37,89 1,89 −10 1,892 =35,89 кН м (в пролете).

Мрасч.max =10 +12,921 20 =11,55 кН м (в сечении В).

σmax = Mрасч.max = 35,89 103 = 292 106 Па = 292 МПа. Wx 123 10−6

204

Положение двутавра на рис. 9.7 не рациональное.

7. Построение эпюры нормальных напряжений в аксонометрии для прямоугольного сечения в опасном сечении.

Опасное сечение находится на расстоянии 2,375 м от опоры А. Определим изгибающие моменты Мх и Му в этом сечении.

Мх = RАв z1 −10z12 =37,5 2,375 −10 2,3752 =32,65 кН м,

Му = −RАг z1 = −5 2,375 = −11,86 кН м,

σd =106 (95,65 +69,5)=165,15 106 Па =165,15 МПа.

8. Определение положений силовой и нейтральной линий. Положение силовой линии:

Положение нейтральной линии:

α = −55o28′.

Силовая и нейтральная линии изображены на рис. 9.8.

205

165,15 МПа

165,15 МПа

Рис. 9.8.

9. Определение полного перемещения сечения С. Определим перемещение способом Верещагина в плоско-

сти yAz и xAz для балки двутаврового сечения.

Эпюра вспомогательного состояния от единичной силы изображена на рис. 9.6, д.

n

ЕJ xUc = ∑ωi Mci = (−ω1Mci +ω2Mc2 +ω3Mc3 )=

i=1

=− 201243 12 1+ 12 10 4 231+ 1310 1 431 = −37,50 кН м3,

206

Полное перемещение сечения С.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется косым изгибом?

2.Какой принцип используется при выводе формулы для нормальных напряжений при косом изгибе?

3.Каков закон изменения нормальных напряжений?

4.Как проходит нейтральная линия?

5.В каких точках возникают наибольшие напряжения?

6.Как определяется полное перемещение?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источник [1] (гл. 4, § 4.8).

Контрольная работа № 10

Расчет на прочность при косом изгибе

Из условия прочности подобрать двутавровое или прямоугольное сечение балки, работающей при косом изгибе. Четные номера (рис. 9.9) – двутавровое сечение, нечетные номера – прямоугольное сечение. Числовые данные указаны в табл. 9.1.

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычертить схему балки с указанием численных значений заданных величин.

2.Построитьэпюрыизгибающихмоментоввобеихплоскостях.

3.Определить положение опасного сечения.

4.Рассчитать размеры сечения из условия прочности.

5.Выбрать рациональное положение балки (для нечетных номеров схем).

6.Определить и изобразить положения силовой и нейтральной линий в опасном сечении и построить эпюры нормальных напряжений в этом сечении.

7.Определить направление и величину полного прогиба

вопасном сечении (только для четных номеров схем).

207

Таблица 9.1

ГЛАВА 10. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) 10.1. Вычисление напряжений

Внецентренное растяжение (сжатие) представляет собой случай нагружения, при котором линия действия равнодействующей внешних сил параллельна оси стержня z, но не совпадает с ней (рис. 10.1). Пусть в торцевом сечении стержня в точке А с координатами хF, уF приложена равнодействующая внешних сил F.

В произвольном поперечном сечении стержня возникают три внутренних силовых фактора, постоянных по его длине:

N = F;

M x = FyF ;

M y = FxF .

Рис. 10.1.

209

Здесь хF и уF – координаты точки приложения равнодействующей внешней нагрузки F (координаты полюса силы). Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) представляет собой сочетание косого изгиба с центральным растяжением или сжатием. Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения В(х, у) определяется следующим выражением:

σ= F + Mx y + My x, A Jx Jy

Отношения JAx и JAó представляют собой квадрат радиу-

сов инерции сечения:

С учетом этих обозначений формула (10.1) принимает вид

При определении напряжений по формуле (10.2) величины хF, х, уF, у берутся с учетом их знака относительно координатных осей. В условиях внецентренного сжатия перед правой частью формулы (10.2) ставится знак минус.

10.2. Определение положения нейтральной линии

При сложном профиле сечения стержня для определения опасной точки предварительно находится положение нейтральной линии. Учитывая, что на нейтральной линии напряжения равны нулю, получаем:

210