Сопротивление материалов

ax =3,54 см, xF = −0,57 см, yF = 2, 4 см.

Ядро сечения для заданного поперечного сечения изображено на рис. 10.7.

Рис. 10.8.

221

Вопросы для самопроверки

1.Что называется внецентренным растяжением (сжатием)?

2.Каково напряженное состояние приэтом виденагружения?

3.Как проходит нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии)?

4.Вкакихточкахсечениявозникаютнаибольшиенапряжения?

5.Что такое ядро сечения и как оно определяется?

6.Для каких материалов возникает необходимость определять область ядра сечения?

7.Где будет проходить нейтральная линия, если сила F приложена на главной оси вне области ядра сечения?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источник [1] (гл. 4, § 4.9).

Контрольная работа № 11

Расчет стержня на внецентренное сжатие

Определить из условия прочности величину допускаемой нагрузки для стержня малой гибкости, найти положение нейтральной линии, построить ядро сечения. Тип сечения приведен на рис. 10.8. Числовые данные принять по табл. 10.1.

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычертить в масштабе сечение с указанием заданных размеров.

2.Определить положение главных центральных осей.

3.Вычислить величины главных моментов и радиусы инерции сечения.

4.Определить положение нейтральной линии и координаты опасных точек.

5.Записать условия прочности и найти величину допускаемой нагрузки.

6.Построить эпюру нормальных напряжений.

7.Построить ядро сечения.

222

Таблица 10.1

Примечание.

1.Для студентов машиностроительных специальностей размерность a – в сантиметрах; материал стержня – сталь.

2.Для студентов строительных специальностей размерность a –

вметрах, материал стержня – бетон.

3.Положение силы F указывается преподавателем.

ГЛАВА 11. ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ КРУГЛЫХ ВАЛОВ

Совместное действие изгиба с кручением испытывают большинство валов, которые обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения. Это оси редукторов, валы двигателей, ведущие оси колесных пар локомотивов

имногие другие элементы технических устройств.

11.1.Вычисление напряжений

223

скольку изгибающий момент достигает здесь наибольшего по

у

Рис. 11.2.

В каждой точке опасного сечения возникают следующие напряжения:

значение которого σи достигается в точках А и В, лежащих на

контуре поперечного сечения в плоскости действия изгибающего момента:

σи = ± M x .

Wx

2. Касательное напряжение τи от поперечной силы Q, опре-

деляемое по формуле Журавского и равное нулю в тех точках сечения, где нормальное напряжение достигает максимального значения. Так как это напряжение по сравнению с нормальным напряжением от изгиба весьма мало, то при расчетах на прочность его не учитывают.

3. Касательное напряжение от кручения, достигающее наи-

точки А и В, где нормальное напряжение также имеет максимальное значение.

224

Таким образом, опасными точками опасного поперечного сечения вала будут точки А и В, наиболее удаленные от нейтральной оси и лежащие в плоскости действия изгибающего момента. В этих точках нормальные напряжения изгиба и касательные напряжения кручения одновременно достигают наибольших значений. Причем для пластичного материала обе точки равноопасны, для неравнопрочного материала обычно опаснее та точка, в которой от изгиба возникают нормальные напряжения растяжения (в нашем примере точка А).

Напряженное состояние элемента, вырезанного в окрестности точки А, показано на рис. 11.3.

Мы имеем в опасной точке плоское напряженное состояние, когда одно из главных напряжений отсутствует (аналогичные напряжения на

гранях элемента имеют место при прямом поперечном изгибе). Главные напряжения определяем по уже известным формулам:

Расчет на прочность при изгибе с кручением ведется с использованием теорий прочности. При этом для пластичных материалов применяется третья или четвертая теории прочности, а для хрупких – теория прочности Мора.

По третьей теории прочности из (11.1) получим:

Аналогичным образом по IV теории прочности

225

Подставим в формулы (11.2) и (11.3) выражения σи = Mи Wx

Выражение, стоящее в числителе, называют расчетным изгибающим моментом и обозначают Mрасч:

MрасчIII = Mи2 + Mк2 и MрасчIV = Mи2 +0,75Mк2 . (11.5)

Тогда условия прочности по третьей и четвертой теориям запишутся в следующем виде:

Для хрупких материалов проверку вала на прочность можно вести с применением критерия прочности Мора (пятой теории прочности):

где k – отношение предела прочности при растяжении к пределу

σр

прочности при сжатии: k = спч .

σпч

226

Если исследуемое сечение испытывает воздействие изгибающих моментов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то предварительно определяется суммарный изгибающий момент:

Ми = Мx2 + M y2 .

11.2.Порядок расчета

Определение нагрузок, действующих на вал

Величина скручивающего момента М в рассматриваемом сечении однозначно определяется мощностью N, передаваемой валу, и его угловой скоростью ω:

M = Nω .

Основные нагрузки на вал – это силы от ременных, цепных и зубчатых передач.

Для ременной передачи скручивающий момент создается за счет разности натяжений ветвей ремня Т и t, называемой окружным усилием Fо = T − t. Для нормальной работы передачи необходимо обеспечить предварительное натяжение ветвей R = T + t, которое принимается равным 3Fо. В этом случае Т = 2Fо, t = Fо. В цепной передаче предварительное натяжение принимается равным 1,5Fо, тогда Т = 1,25Fо, t = 0,25Fо.

227

В зубчатой передаче усилие направлено по линии зацепления (стандартный угол зацепления α = 20°). При расчетах используются его составляющие: окружное усилие Fо и радиальное усилие Fp = Fо tg α. Радиальное усилие направлено к центру колеса. Направление окружного усилия зависит от роли зубчатого колеса в передаче: у ведомого колеса его направление совпадает с направлением вращения, у ведущего – противоположно вращению.

Окружное усилие для всех видов передач вычисляется по формуле

Fо = 2DM ,

гдеD – диаметршкива, звездочки, зубчатогоколесасоответственно. Силы, действующие на вал, приводятся к оси вала с разложением главного вектора по двум взаимно перпендикулярным плоскостям. После этого строятся эпюры крутящих моментов

Мк и изгибающих моментов Мх и Мy.

Ориентировочный расчет вала

Предварительные размеры вала устанавливаются путем расчета на статическую прочность по максимальному значению действующих нагрузок (без учета циклического характера действия напряжений), но с повышенным коэффициентом запаса прочности [n] = 4…5.

Величина допускаемых напряжений, используемых при ориентировочном расчете, определяется через соответствующие для заданного материала предельные напряжения:

Для определения поперечных размеров вала строятся эпюры M x , M y , Mk , эпюры суммарных изгибающих моментов

Mи = M x2 + M y2 , а также эпюра расчетных моментов

228

МрасчIII = Ми2 + Мк2 или МрасчIV = Ми2 +0,75Мк2 . Диаметры ва-

ла в сечениях, где расположены элементы передач и подшипниковые узлы, определяются из условия прочности по формуле

d ≥ 32Mрасч .

3 π [σ]

Конструирование вала

По конструкции валы обычно изготавливаются ступенчатыми. Назначение ступеней – фиксация деталей в осевом направлении, а также облегчение сборки деталей. При этом должно быть обеспечено свободное продвижение детали по валу до места ее посадки. Диаметры вала в месте посадки должны быть выровнены до стандартных значений.

Для фиксации деталей на валах в осевом направлении служат буртики, высота заплечников h которых ориентировочно может быть принята в зависимости от диаметра вала d. Значения h и d в их взаимной зависимости представлены ниже.

При посадке подшипника диаметр заплечника принимается равным наружному диаметру внутреннего кольца подшипника, а радиус галтели на 0,5 мм меньше внутренней фаски.

Радиус галтели r при переходе от диаметра d к большему диаметру D вала (кроме подшипниковых узлов) принимается в зависимости от высоты заплечников. Значения r и d приведены ниже.

Концы валов следует заканчивать фасками. Для повышения технологичности конструкции радиусы галтели и размеры фасок на одном валу желательно принимать одинаковыми.

229

Для шкива и звездочки ширину ступицы можно принять равной примерно 1,5d, для шестерни – 1,2d. Посадочное место под подшипник определяется шириной радиального однорядного подшипника по ГОСТ 8338–75.

11.3. Пример расчета вала

Пример

Рассчитать и сконструировать вал круглого поперечного сечения, предназначенный для передачи вращательного движения

(рис. 11.4). Dшк = 250 мм, Dш = 150 мм, l = 600 мм, а = 120 мм, b = 400 мм, с = 100 мм, β1 = 60°, β2 = 220°.

Рис. 11.4.

Мощность N = 15 кВт подводится от электродвигателя посредством кулачковой муфты, а снимается через зубчатую передачу посредством шестерни 1 (N1 = 6 кВт) и ременной передачи 2 (N2 = 9 кВт). Скорость вращения вала n = 210 об/мин. Материал – сталь 40.

Решение

11.3.1. Определение нагрузок, действующих на вал

Величина момента М, передаваемого от электродвигателя на муфту, определяется угловой скоростью вращения вала ω и передаваемой мощностью N:

230