Замечания.

к

(где j = N ) срока долга начисляются простые проценты по процент-

следует, что /ср = — • jT/j, ''г есть средневзвешенная величин /, с весами, N /=|

соответствующими продолжительностям этапов nt , и дает тот же доход за время N. Если же на указанных этапах начислялись бы сложные проценты по фиксированным процентным ставкам i( , то из

1.4.3. Безубыточное изменение условий контраюга

Принцип финансовой эквивалентности изначально заложен в форму­ лах наращенных и приведенных сумм, связывающих величины S (0) и S (л) во времени. Договаривающиеся стороны считают, что сумма долга S (0) в начале срока эквивалентна сумме платежа S (п) в конце этого срока, если величина процентной (учетной) ставки и метод начисления (дисконтирования) процентов устраивает обе стороны.

Финансовая эквивалентность контрактов предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения условий контракта. Потребность в замене условий контракта часто появляется при изменении сроков платежей, при объединении (консолидации) нескольких договоров, при сравнении договоров с разными сроками долга и т.д. Очевидно, что каждая такая замена контракта связана с приведением разновременных выплат к некоторому одному моменту времени. Перенос времени выплат на более раннюю дату требует проводить операцию дисконтирования раз­ новременных выплат. Перенос времени выплат на более позднюю дату требует проводить операцию наращения разновременных выплат.

Решение задачи сохранения финансовой эквивалентности контрактов сводится к выводу уравнения эквивалентности, в котором заменяемые платежи, приведенные к выбранному моменту времени, приравниваются вновь устанавливаемым платежам, приведенным к тому же моменту вре­ мени.

При краткосрочных контрактах для вывода уравнения эквивалентно­ сти используется принцип начисления (дисконтирования) простых процен­ тов, при среднесрочных и долгосрочных контрактах - сложных процентов.

-либо по заданному сроку выплаты Г0 консолидированного платежа найти его величину S(TQ) ;

-либо по заданной величине консолидированного платежа S ^ ) опреде­ лить срок его выплаты Г0.

Врамках постановки первой задачи консолидации платежей воз­ можны следующие варианты.

ванного платежа при условии начисления простых процентов по процент­ ной ставке / (общей для каждого платежа) можно воспользоваться форму­ лой

ванного платежа при условии начисления простых процентов по процент­ ной ставке i (общей для каждого платежа) можно воспользоваться форму­ лой

где tjo = Tt - TQ временной интервал между первоначальной датой Tt вы­ платы платежа S(Tt ) и выбранной датой Г0 выплаты объединенного пла­ тежа S(TQ) . Если для нескольких консолидируемых платежей 7} < Г0

(/= 1 ,2 ,..., L), а для других 7) > Т0 (/ = L+l, L+2,. . . , /), то для нахождения величины консолидированного платежа при условии начисления простых процентов по процентной ставке / (общей для каждого платежа) можно воспользоваться формулой

Отметим, что так как консолидация платежей по векселям обычно производится на основе начисления и дисконтирования простых процентов по учетной ставке d, то для определения величины объединенного платежа используется формула

Если рассчитывается величина консолидированного платежа при ус­ ловии начисления сложных процентов по процентной ставке /, пользуемся формулой

(/ = 1, 2, . . . , / ) заменяются новыми платежами 5(Г0/ ) со сроками погаше­

ния Г0>/ ( / = 1, 2, . . . , q \ уравнение эквивалентности

в каждой конкретной задаче принимает свой вид. При этом дисконтирова­ ние всех платежей производится к исходному моменту времени Тисх более раннему по отношению к моменту выплат как старых, так и Новых плате-

/С

= 1, 2, . . . , q.

Задача консолидации платежей во второй постановке, когда по за­ данной величине объединенного платежа 5(7))) требуется определить дату

7Q его погашения, решается на основе приведения всех сумм к исходной

дате Тисх. При этом уравнение эквивалентности на базе математического

учета, т.е. при дисконтировании всех платежей простыми процентами но процентной ставке /, принимает следующий вид:

Обозначив приведенную величину консолидированного платежа че­ рез 50,

/

т.е. SQ = Х 5(7/) • 0 + И/ • О”1>получим, что S(TQ) • (1 + и0 • i)"1= S0-

г=1

Откуда следует, что число периодов наращения консолидированного пла­ тежа может быть найдено по формуле

S (T o ) J

«0 = — — .

Очевидно, что реализуемое решение возможно при S(TQ) > SQ.

I

Заметим, что если S(TQ) = ^ 5 ( 7 )), то приближенный результат при

/=1

нахождении числа периодов для получения объединенного платежа дает формула

S W ,) - » ,

„ _/=1

«о - — j---------- •

I W , )

/=1

При использовании банковского учета, т.е. при дисконтировании всех платежей простыми процентами по учетной ставке d, получаем урав­ нение эквивалентности вида

/=1

откуда следует, что реализуемое решение возможно при 5(Г0) > S Q .

Если дисконтирование всех платежей осуществляется сложными процентами по процентной ставке /, т.е. используется принцип математи­ ческого учета, то уравнение эквивалентности принимает вид

5(7Ь) • 0 + 0 '"° = I S{T,) ■(1 + О- "'

Г=1

Обозначив сумму всех приведенных консолидируемых платежей через SQ, получаем формулу числа периодов наращения консолидированного плате­ жа, а именно,

Очевидно, что здесь для получения реализуемого решения необходимо, чтобы S(T0)> SQ.

Заметим, что использование приближенной формулы для определе­ ния срока погашения консолидированного платежа

1 ОД) - л /

/

когда S(TQ) = £ 5 (7 )), дает завышенную величину и0. t=1

1.4.4. Учет инфляции Так как инфляция представляет собой неотъемлемое явление эконо­

мики, то о ней нельзя забывать при составлении контрактов.

Пусть за период времени п сумма наращенного вклада составила ве­ личину S(n), а индекс цен на товары (уровень инфляции), определяемый изменением покупательной способности денег, за тот же период вырос до величины 1р (п). Тогда реальная (с учетом покупательной способности)

Например, за два месяца цены выросли на 20%. Индекс цен стал равным 1,2, если считать, что в начале первого месяца 7^,(0)= 1. В этом случае за­

держанная на два месяца зарплата величиной 60 000 д.е. становится равно­ значной сумме 60 000/(1,2)= 50000 д.е.

Если прогнозируемый годовой темп прироста цен (инфляции) равен Л, а в начале года величина индекса цен принята за единицу, то к концу го­ да индекс цен (темп роста инфляции) станет равным (1 + И). За п лет ин­

декс цен будет равен (1 + И)п В итоге наращенная сумма при начислении сложных процентов по процентной ставке / за п лет с учетом ее обесцени­ вания от действия инфляционных процессов составит величину:

Очевидно, что при / = h сумма 5(0), вложенная п лет назад, не изме­ нится. При h < i будет наблюдаться наращение суммы 5(0), а при h > i - уменьшение (рис. 18).

Для компенсации влияния инфляционных процессов на стоимость денег их владельцы прибегают к индексации либо процентной ставки /, либо суммы первоначального платежа 5(0).

Процентная ставка г с поправкой на инфляцию называется брутто - ставкой и определяется из эквивалентности финансовых результатов при

без учета инфляции и с ее учетом. Т.е. из равенства 5/ («) = 5;.(п) следует, что

5(0)-(l + /)n = 5 ( 0 ) . ^ J

Откуда г = i + h + / А, а наращенная сумма вклада с учетом инфляции вы­

числяется по формуле С(п) = 5(0) -(l+r)71

Определение наращенной суммы вклада с индексацией первоначаль­ ного вклада за счет индекса цен Ip (n) = (1 + h)n приводит к следующему результату:

С(я) = 5(0) • / , • ( ! + 0 я = S(0) • (1 + h)" • (1 + i)n =

= 5(0)*((1 + /|)*(1 + /))и =5(0)-(l + i + A + i-A)w=5(0)*(1 + г);|

Таким образом, оба типа индексации (процентной ставки и первоначально­ го долга) имеют один и тот же итог.

Задачи

1. ( Наращение). Определите сумму наращенного вклада при различ­ ных способах (/;|, /с, d„, dc) начисления процентов на первоначальный

2. (Срок долга). Найдите число лет, необходимое для увеличения вклада в L раз при различных способах начисления процентов на первона­

3. (Современная величина). Определите величину первоначального вклада, необходимого для получения суммы S(n) = 2000 д.е. при различных способах начисления процентов и заданных значениях годовых процент­ ных ставок in = ic = dn = dc =0,03 для сроков вкладов п\ =0,6 года,

п2 - 2 года.

4. (Эквивалентные процентные ставки). Определите значение годо­ вой учетной ставки, эквивалентной годовой процентной ставке 0,1 при на­ числении простых процентов в течение срока долга, имеющего следующие значения: 1, 3, 5, 1/2, 1/4, 1/12 года.

5. (Эквивалентные процентные ставки). Определите значение годо­ вой учетной ставки при начислении простых процентов, эквивалентной годовой процентной ставке при начислении простых процентов в течение одного года, если in принимает значения: 0,05; 0,06; 0,07; 0,08; 0,09;

0,1.

6. (Эквивалентные процентные ставки). Определите значение годо­ вой процентной ставки при начислении простых процентов, эквивалентной годовой учетной ставке при начислении простых процентов в течение од­ ного года, если dn принимает значения: 0,05; 0,06; 0,07; 0,08; 0,09; 0,1.

7. (Эффективная процентная ставка). Докажите, что если сумма , ин­ вестированная для начисления сложных процентов т раз в году по годовой процентной ставке /, то эффективная процентная ставка определяется по

16. (Эквивалентные процентные ставки). В контракте предусматри­ вается начисление простых процентов по годовой процентной ставке в следующих размерах: первые полгода - 0,1, затем год - 0,12 и последую­ щие полгода 0,15. Определите эквивалентную этим условиям среднегодо­ вую процентную ставку и наращенную сумму, если величина первона­ чального долга равна 10000 д.е.

17. (Сравнение процентных ставок). Что лучше для вкладчика: - не­ прерывное начисление сложных процентов по силе родта 0,05 или начис­ ление сложных процентов по годовой процентной ставке 0,052 ? - непре­ рывное начисление сложных процентов по силе роста 0,06 или начисление сложных процентов каждые полгода по годовой номинальной процентной ставке 0,061 ? - непрерывное начисление сложных процентов по силе роста 0,08 или ежеквартальное начисление сложных процентов по годовой но­ минальной процентной ставке 0,082 ?

18.(Средняя процентная ставка). Годовая процентная ставка по ссу­ де при начислении сложных процентов определена на уровне 0,08 плюс надбавка 0,005 в первые два года, 0,008 - в последующие три года. Найдите среднюю годовую процентную ставку.

19.(Уравнение эквивалентности). Имеются два обязательства. Усл вия первого: величина погашаемого долга - 500 д.е., срок долга - 4 месяца.

Условие второго: величина погашаемого долга - 550 д.е., срок долга 10 ме­ сяцев. Можно ли считать эти обязательства эквивалентными, если долг учитывается простыми дисконтами по годовой учетной ставке dn = 0,8

( dn = 0,06)? Какова должна быть учетная ставка для равноценных финан­

совых обязательств?

20.(Уравнение эквивалентности). Два платежа - 10000 д.е. и 5000 д.е. со сроками 120 и 160 дней, отсчитываемыми от одного дня, заменяются одним платежом со сроком 200 дней (от того же дня). При выполнении этой операции используются простые проценты с годовой процентной ставкой 0,08 для временной базы 365 дней. Определите величину нового платежа.

21.(Уравнение эквивалентности). На 01.09 консолидируются три платежа 10, 20 и 30 тысяч долларов со сроками 01.05, 01.06, и 01.08. Най­ дите величину консолидированного платежа при использовании простых процентов по годовой процентной ставке 0,1 и временной базе 365 дней.

22.(Уравнение эквивалентности). Два векселя, один на 1000 д.е. и сроком до 01.06, другой на 2000 д.е. и сроком до 01.09 заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применяются про­ стые проценты с годовой учетной ставкой 0,09. Определите новую сумму долга, если временная база равна 360 дней.

23.(Уравнение эквивалентности). Два платежа 10000 д.е. и 20000 д.е. со сроками 120 и 150 дней, отсчитываемыми от одного дня, заменяются одним платежом со сроком 200 дней (от того же дня) с начислением слож­ ных процентов по годовой процентной ставке 0,08 и временной базе 365 дней. Определите величину нового платежа.

24.(Уравнение эквивалентности). Платежи 1000 д.е., 2000 д.е. и 3000 д.е., которые должны уплачиваться соответственно через 60, 90 и 120 дней после некоторой даты, решено заменить на один платеж, равный 6500 д.е.

Определите срок выплаты консолидированного платежа при использова­ нии простых процентов с годовой процентной ставкой 0,1.

25.(Уравнение эквивалентности). В условиях задачи 24 величина консолидированного платежа равна 6000 д.е. Для определения срока долга воспользуйтесь приближенной формулой.

26.(Уравнение эквивалентности). Платежи 10000 д.е., 20000 д.е. и 30000 д.е. со сроками погашения 2, 3 и 5 лет решено заменить консолиди­ рованным платежом в 60000 д.е. Определите срок нового платежа, если используются сложные проценты с годовой процентной ставкой 0,08.

27.(Уравнение эквивалентности). Два обязательства 10000 д.е. и 5000 д.е. должны быть погашены 01.11 и 01.01, соответственно. Однако стороны, пересмотрев условия договоров, решили, что должник 01.12 уп­ лачивает 6000 д.е., а остальной долг гасит 01.03. Необходимо определить сумму погашаемого остатка при использовании простых процентов с годо­ вой процентной ставкой 0,06.

28.(Уравнение эквивалентности). Обязательства об уплате 10000 д.е. через 5 месяцев и 90000 д.е. через 9 месяцев пересмотрены так, что выпла­ ты будут произведены равными суммами через 4 и 6 месяцев. Для опреде­ ления величин этих выплат использовались простые проценты с годовой процентной ставкой 0,08. Найдите эти суммы, если временная база равна

360дням.

29.(Уравнение эквивалентности). Существующее обязательство о выплате первоначального долга 90000 д.е. с начисленными на него слож­ ными процентами по годовой процентной ставке 0,08 через 5 лет пере­ смотрено так, что первая выплата размером в д.е. 3000 будет произведена через 2 года, а оставшаяся сумма гасится через 4 года. Определите сумму окончательного долга.

30.(Уравнение эквивалентности). Вексель был куплен за 180 дней до

погашения при этом его учет произвели простыми дисконтами по учетной ставке 0,07. Через 50 дней вексель продали, проведя его учет простыми дисконтами по учетной ставке 0,065. Определите эффективность сделки, измеренную в виде годовой процентной ставки, соответствующей начис­ лению: а) простых процентов; Ь) сложных процентов.

31. (Уравнение эквивалентности). В условиях задачи 30 величина учетной ставки, используемой для учета векселя в момент его продажи, не задана. Определите значения этой учетной ставки, при которых сделка "купли-продажи векселя" была бы не убыточна.

32. (Уравнение эквивалентности). Сертификат куплен за 1020 руб за 170 дней до его выкупа, а через 90 дней он был продан за 1060 руб. Опре­ делите доходность операции в виде процентной ставки при начислении:

а) простых процентов; Ь) сложных процентов.

33. (Уравнение эквивалентности). Сертификат номиналом 100 тыс. руб с объявленной доходностью 12% годовых, начисляемых простыми процентами, и сроком на 720 дней куплен по цене 110 тыс. руб за 250 дней до погашения. Определите доходность инвестиций в виде эффективной процентной ставки.

34. (Уравнение эквивалентности). Сертификат сроком на 720 дней с объявленной доходностью 10% годовых, начисляемых простыми процен­ тами, был приобретен в момент его эмиссии по номинальной цене 100 тыс. руб. Затем он был продан за 200 дней до погашения. Рыночная процентная ставка в момент продажи равна 0,08. Определите эффективность данной операции.

35. (Уравнение эквивалентности). Финансовый инструмент, прино­ сящий постоянный доход, купленный за 200 дней до погашения, через 100 дней продан. В момент покупки годовая процентная ставка на рынке рав­ нялась 0,1, а в момент продажи - 0,08. Определите доходность операции "купли-продажи финансового инструмента" в виде эффективной процент­ ной ставки.

36.(Инфляция). На сумму 20000 д.е. начисляются сложные процент

втечение трех лет по годовой процентной ставке 0,08. Годовой темп при­ роста инфляции 0,03. Определите: а) наращенную сумму без учета инфля­ ции; Ь) наращенную сумму с учетом инфляции; с) брутто-ставку; d) нара­ щенную сумму по брутто-ставке.

37.(Амортизация). Стоимость машины, купленной за 10000 д.е., вос­ станавливается с момента покупки (производятся амортизационные отчис­ ления). Стоимость машины изменилась во времени в зависимости от числа

лет t ее эксплуатации по закону V(t)=10000-e“°’2/ Найдите величину амортизационных отчислений через 8 лет. Рассчитайте величину ежегод­ ных отчислений в процентах.

38. (Цена акции). Наблюдения показали, что рыночная цена акции изменялась с 1988 г. по 1993 г. по закону R(t) = 4-(1,2)/ д.е., где t - время в годах, начиная с 1988 г. Определите цену акции в 1993 г. Предполагая, что этот закон сохраняется, определите, через какое время стоимость акции

возрастет до 20 д.е. Рассчитайте ежегодный прирост стоимости акции в процентах.

39. (Инфляция). Между январем 1990 и январем 1994 г. индекс по требительских цен 1р (уровень инфляции) вырос со 121 до 636. Определи­

те годовой темп прироста цен за этот период в процентах. Выразите индекс цен в форме а -ек’1, если величина индекса цен при t = 0 соответствует ин­ дексу цен в январе 1990 г. Предполагая темп прироста индекса цен посто­ янным, установите, когда индекс цен достигнет величины 5000?

40. (Инфляция). Ежемесячный прирост инфляции составляет 10%. Рассчитайте годовой прирост инфляции. Запишите закон изменения ин­

фляции в форме а -еь'1, где а = 1, 6- темп роста инфляции за год. Опреде­

42. (Национальный доход). Численность населения в стране ежегод­ но увеличивается на 3%. Каков должен быть темп прироста национального продукта, чтобы через 20 лет произошло его удвоение на душу населения?

Раздел I I . П О Т О К И П Л А Т Е Ж Е Й

Глава 2.1. Основные понятия и математический аппарат

2.1.1. Рента (аннуитет)

Распределенная во времени последовательность денежных выплат или поступлений называется потоком платежей. Поток платежей с по­ стоянными интервалами между соседними платежами называется финан­ совой рентой, или аннуитетом. Примерами финансовой ренты могут служить последовательности взносов по погашению потребительских кре­ дитов, страховых платежей и т.п.

К основным параметрам, характеризующим финансовые ренты, от­ носятся (рис. 19):

-член ренты Rt - величина отдельного платежа;

-период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;

-срок ренты / - временной интервал от начала финансовой ренты до по­ следнего платежа;

-процентная ставка ренты - процентная ставка, используемая для нара­ щения или дисконтирования членов ренты;

-т - частота начисления процентов в году;

-р - частота платежей в году.

Если число платежей в году увеличивается до бесконечно большой величины, т.е. />-»«>, то в этом случае говорят о потоке с непрерывным поступлением платежей.

му закону.

Аппарат анализа потока платежей используется для разработки пла­ на погашения задолженности, сравнения или безубыточного изменения ус­ ловий контрактов, оценки степени эффективности инвестиций и т.д. При этом главную роль играют обобщающие характеристики потока платежей: наращенная сумма и современная (приведенная) величина потока плате­ жей. Наращенной суммой потока платежей называют сумму всех членов потока платежей с начисленными на них процентами. Современной вели- чиной потока платежей называется сумма всех членов потока платежей, дисконтированных к началу ренты.

Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то рента называется обычной Опостнумерандо). Рента с платежами в начале перио­ да называется рентой пренумерандо. Встречаются ренты с платежами в середине периода.

2.1.2. Приближенное решение уравнений и интерполяция При финансовом анализе потоков платежей, кроме математического

аппарата, служащего для анализа сделок с разовыми платежами, исполь­ зуются методы приближенного решения уравнений, а также методы ин­ терполирования (восстановления ) функций на заданном интервале по из­ вестным ее значениям в конечном множестве точек этого интервала. В курсе высшей математики эти методы не рассматривались, поэтому в этом параграфе приведены идеи некоторых из указанных методов.

Пусть корень х* уравнения Дх) = 0 отделён на отрезке [а, Ь]. Причем Дх) и /'(*) непрерывные функции, сохраняющие определенные знаки на [а, Ь]. Пусть найдено /i-ое приближение значения корня, т.е. хп «х*, где х„ е [а, 6], с точностью до малой величины 1гп, т.е. х* = х„ + Ип. Тогда по

формуле Тейлора

/(**) =f ix „ +/!„) =/(*„) +К ■f'(x„).

Так как х* корень функцииДх), тоJ[x*) = 0. Следовательно,

n - 0, 1, 2, . . .

Данная процедура нахождения корня уравнения называется методом Ньютона. Геометрически этот метод эквивалентен замене на каждом шаге /7 дуги кривой у = Дх) касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой.

В самом деле, положим для определенности /'(х )> 0, т.е. график функции у =Дх) - вогнутая кривая для любых х е [а, 6], иДЬ) > 0. В каче-

стве начального приближения корня х$ выберем точку на оси Ох с абсцис­ сой JC0= Ь такую, что f ( x 0) -f ''( x 0)> °. Проведем касательную к графику функции у=Лх) в точке B0(x0,f ( x 0)) (Рис*20)-

Рис. 20 В качестве первого приближения корня х* возьмем абсциссу точки

пересечения этой касательной с осью Ох, т.е. точку (*|, 0). Через точку

В\(х\, f ( x \)) снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью Ох даст нам второе приближение *2 корня х* и т.д. Оче­

ходя из начального приближения *0 е [а, Ь]>удовлетворяющего неравен­

(остальные три случая рассматриваются аналогично). Тогда из условия Д * о )-/"(* о ) > 0 следует, что f ( x 0) > 0. С учетом того, что функция воз­ растает на [а, 6], начальное приближение дг0 можно выбрать при любых х: х > х*, например, *0 = Ь. Следовательно, J[b) > 0. Тогда из условия

/(« )• f(b)< 0 имеем Да) < 0. Таким образом, рассматриваемой функции соответствует график, изображенный на рис. 21.

а

А*)

Рис. 21

Используя метод математической индукции, покажем, что все при­ ближения хп >х* (п = 0, 1, 2,. . .). Начальное приближение выбрано так, что х0 >х*. Предположим, что хп >х*, и покажем, что дг,|+1 >х*. Для этого положим х* = х„ + (х* - JC#i) и для рассматриваемой функции запи­ шем формулу Тейлора:

Лх*)~Ах„)+ГХхМх*-хп)+ \-Г (с„ Н х* -хп)2,

где х*<сп <хп. Так как /(**) = 0 и /"(.х)> 0 для любых х е [а, Ь]9то

Так как на отрезке [а, Ь] функция такова, что /'(* )> 0 и для JC > JC* выполняется неравенство f(x) >0, то из соотношения

*л+1= * л - (*)

следует, что хп+\ <хп. Таким образом, показано, что последовательность

х = / 1(д>) не может быть записана в явном виде. Для решения этой задачи используем метод линейной интерполяции, когда достаточно гладкую функцию (т.е. /'( * ) и /" 0 0 - непрерывны и сохраняют знак на некотором интервале) заменяют линейной функцией, которая определяет на плоско­

сти прямую.

Уравнение прямой, проходящей через точки М\(х\>у\) и

где (х,у) - координаты произвольной точки М(х,у) прямой. Тогда

Х = Х\ + У У' ‘{х2 ~ Л'|)

Уг~У\

Таким образом, при заданном значении у0 е [у], у2] можно найти соответствующее ему приближенное значение х0 (рис. 22).

грешности, т.е. |у0 _ /С*о) | < £■, то найденное значение х0 служит ответом

точки М3(х3, у3) и М4(х4, у 4) графика функции у = /(х ), получим