- •МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •Глава 1.1. Основные понятия и математический аппарат
- •1.1.1. Проценты и процентная ставка
- •1.1.3. Числовые последовательности. Прогрессии. Степенные ряды
- •1.2.1. Наращение по процентной ставке
- •Переменная процентная ставка
- •Реинвестирование вкладов
- •1.23. Наращение по учетной ставке
- •1.2.4. Срок долга. Величина процентной ставки
- •Глава 1.3. Сложные проценты
- •1.3.1. Наращение по процентной ставке
- •1.3.4. Непрерывное наращение и дисконтирование
- •1.3.5. Срок долга. Величина процентной ставки
- •1.4.1. Эффективность различных ставок
- •Замечания.
- •Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами
- •2.2.2. Современная величина
- •Замечания.
- •Рента с начислением смешанных процентов
- •Глава 23. Потоки с переменными платежами
- •23.2. Относительное изменение платежей
- •Глава 2.4. Сравнительный анализ. Приложения
- •Замечание.
- •2.4.2. Безубыточное изменение потоков платежей
- •Серия "Российская Экономическая Академия им. Г.В.Плеханова"
- •Серия "Индустрия гостеприимства"
- •Серия "Учебники для экономических и неэкономических ВУЗов"
- •Серия "Прогрессивная экономическая мысль Европы"
- •По вопросам приобретения книг и за дополнительной информацией просим обращаться:
Продолжение таблицы 10
р > 1; т —>оо
_ |
ln((S/ R)p(e^p - 1)+1) |
. |
Щ \ - ( А ! R)p(eS p -\))~' |
п |
= |
п = ---------------------------------- |
|
|
5 |
|
8 |
|
р -> оо; |
т = 1 |
|
|
„ _ |п(|п0 + 0• (^ / Л) + 1) |
|
ln(l - ( A I R ) - 1п(1 + О)-1 |
|
1п(1+ 0 |
" |
!п(1 + /) |
|
р -» оо; |
т > 1 |
|
л _ |
ln((5 / R)■т ■ln(l + j / т) +1) |
|
1п(1 - ( А / R)-m-ln(l + j / m))_l |
|
m-ln(l+j/m) |
п ~ |
m-\n(\ +j l m ) |
|
р -> оо; |
т —¥оо |
|
|
_ _ ln(< £(S/Д) + 1) |
|
ln (l- 8(A/R))~' |
|
5 |
|
8 |
13Н
13П
15Н
15П
16Н
16П
17Н
17П
Замечания.
1.Чтобы при данной современной величине обычной ренты ее срок выражался положительным числом, необходимо в числителе под знаком логарифма иметь число, большее единицы.
2.Если расчетное значение срока обычной ренты оказывется дроб ной величиной, то для ренты с годовым периодом платежей выбирается ближайшее целое число меньшее л, а в случае р-срочной ренты - ближай
шее целое число меньшее п-р. Например, для квартальной ренты получено п = 6,32. Следовательно, п-р = 25,28. Поэтому выбираем п-р = 25 и получаем п = 6,25. При этом наращенные и современные суммы рент ока жутся меньше действительных, записанных в контракте. Возникающую разность компенсируют либо дополнительным взносом в начале ренты, либо увеличением значения члена ренты.
Процентная ставка. При сравнении доходности контрактов с раз ными сроками ренты, при подготовке контрактов и т.п. возникает потреб ность в оценке величины процентной ставки ренты. Для этого необходимо решить соответствующее условиям ренты уравнение типа (8)-(17) относи тельно процентной ставки. Аналитически решить такие уравнения не пред ставляется возможным. Поэтому применяются приближенные методы, на пример, метод линейной интерполяции либо метод Ньютона.
Например, величина процентной ставки / обычной ренты при задан ных значениях т = 1, р = 1 и коэффициенте наращения sn:i = S / R (или ко эффициенте приведения an:i = Л/ R) может быть найдена по формуле ли нейной интерполяции
где дв и дн - затабулированные значения коэффициента наращения (или приведения) соответственно для процентных ставок ie и /„; д - коэффици
ент наращения (приведения), соответствующий исходным данным, а имен но SIR (или AIR).
Если рассматривается обычная рента с /и-разовым начислением сложных процентов в году (т > 1), то номинальная процентная ставка на ходится из формулы эквивалентности
7 = m-((l + / ^ ) ,7w- l ) ,
где эффективная процентная ставка определяется предварительно по
формуле линейной интерполяции.
Вторым, часто используемым приближенным методом является ме тод Ньютона решения алгебраических уравнений. Для решения, например, уравнения (9Н) его записывают в виде
s 0 + 0 ” - 1 - 0
Ri
иоценивают, для удобства, не величину /, а величину q = 1 + /. Уравнение
принимает вид
я " - \ = 0 » R 4 4 <=* /(* ) = ?"
R <7-1 |
^ - 1 * 0 ; |
|
Тогда в итеративной процедуре (метода Ньютона) нахождения вели чины q:
Як+1 = Як ~ 7 т Ц . * = 0, 1, 2, 3 , -----
f ( 4 k )
функция и ее производная примут вид
/'(* * )=
Начальное значение q0 выбирается так, чтобы соответствующие ему ко эффициенты наращения (или приведения) были близки к величине SIR
(или AIR).
При /л-разовом начислении сложных процентов в году по номиналь ной процентной ставке j следует оценить сначала эффективную процент-
ную ставку 10ф, а уже затем по формуле j = т■((1 + )Um - 1) определить
номинальную процентную ставкуj.
Втабл. 11 сведены используемые в итеративной процедуре функции
иих производные для некоторых типов рассмотренных ранее обычных рент и потоков с непрерывным поступлением платежей.
|
Условия обычной ренты |
Таблица 11 |
|||
|
Яспольз. |
||||
|
Функции и их производные |
формулы |
|||
|
|
р = 1; т = 1 |
9Н |
||
Я я к)=ч'к |
|
-0-1; |
/'(-7 * )= л<7Г' - |
||
|
| |
||||
|
|
р = 1; т - |
1 |
9П |
|
Яяк) = Якп+ ~ ( 9 * |
- 0 - 1 ; |
|
|||
/Ч 9 * ) = ^ - « ? Г (п+,) |
|||||
|
|
р = 1; т —>оо |
14Н |
||
/ ( 4 ) = е ‘* " - | - И |
-0 -1; |
/Ч4 )= « ^ " - |
|||
|
|||||
|
|
р = 1; т —►оо |
14П |
||
Л 4 ) = е - ^ " + | . ( ^ |
-0 -1; |
|
|||
/'(4 )= |-е* - и е - 4 ,л |
|||||
|
|
р * 1; m= 1 |
ЮН |
||
|
■р • (ЯкР- 0 ■-1; |
Г(як) = пяГх- j |
|||
/(<7* )= ч1 - ^ |
■я "р~х |
||||
|
|
рф 1; т = 1 |
10П |
||
/(9 * ) = <7*" + J |
• Р ■(ЯкР-0■-1; |
|
|||
/ХЯк) =^ ’ЯКкР~Х- и9*(И+1) |
|||||
рф 1; т —►оо
13Н
=^ ( е ^ ^ - О - П =
рф 1; /и —уоо
13П
/(4 )=е-«н+^.р-(е4//,-0-1;/,( 4 )= |« 4/р~1-««"4и
р -> оо; |
т -* оо |
/ ( 4 ) = e ^ n - | - 4 - l ; |
17Н |
/ '( $ ) = / . е * я - | |
|
р—> оо; |
/и оо |
Я 4 ) = *- 4 '" + £ • 4 - 1; |
17П |
/ч 4 ) = - » * ‘ 4 |
2.2.4. Другие виды потоков с постоянными платежами
Рассмотренные ранее потоки с постоянными платежами не исчерпы вают всего их многообразия. В практике встречаются потоки, которые от личаются видом начисляемых процентов, либо периодами платежей в по токе, либо моментами производства платежей в периоде и т.д. Рассмотрим некоторые из них.
Рента с начислением простых процентов
Рассмотрим поток платежей (рис. 29), в котором простые проценты начисляются в конце периодов р раз в году (разновидность р-срочной рен
ты). |
1 . .. п-1 |
п |
О |
||
R/p R/p R/p |
R/p |
R/p R/p |
|
|
R ( u {np-l)i\ |
|
|
|
P \ |
P ) |
Сумма |
Рис. 29 |
|
|
|
|
|
|
np R ( |
|
||
S = |
|
! + (*-!)• |
|
t=\P |
V |
|
|
. |
R |
с начисленными на них процентами к |
|
последовательности платежей |
— |
||
Р
концу срока ренты представляет собой сумму п р членов арифметической
|
R |
|
i |
|
прогрессии с первым членом — и разностью |
R — т-. Величина этой суммы |
|||
|
Р |
|
Р |
|
может быть найдена по формуле |
|
|
|
|
S = |
р - \ ) \ - п - S =- - п - р - ( \ +(п- |
2Р |
||
2 у р р р |
) |
Р |
\ |
|
<=>5= Л-л-11 + - ~ |л - — и
При р - 1 получаем S - R • п • ^1 + —• (и —1) • |
. Используя дисконтирование |
|
платежей |
R |
по процентной ставке i |
— простыми процентами |
||
(математический учет), можно определить современную величину ренты при начислении процентов р раз в году.
|
|
|
|
О |
R/p R/p RJp |
1 ...м-1 |
n |
|
|
|
|
|
RJp |
RJp RJp |
|
|
R |
( 1 |
1 I |
- l 0 |
1 2 ...p -l |
p ...0 |
l...p-2 p-1 p /[год] |
|
|
|
|
|
|||
|
Р |
V |
Р ) |
-1 |
|
|
|
R |
( |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
— |
1 + 2 |
- |
|
|
|
|
|
Р |
'< |
|
Р |
|
|
|
|
|
R |
\ Лл_ |
i |
|
|
|
|
|
Р |
V |
pГ. |
|
|
|
|
Рис. 30
Сумма последовательности первоначальных взносов (рис.30)
7 ' Н Г 7 ( ,+27 ) " f ( 1+" ' p' f
которые необходимо вкладывать, чтобы в момент времени / ( / = 1 , 2 , . . , пр)
R |
|
|
получить сумму —, равна |
|
|
Р |
|
|
R |
п'р( |
i N_l |
р |
,=1^ |
р |
и представляет собой современную величину ренты. Для ренты с годовым периодом (р = 1) современная величина ренты определяется по формуле
Л = Л . £ ( 1 + М )-'
/=1
р
При дисконтировании платежей — простыми процентами по учет-
Р
ной ставке d (банковский учет) современная величина ренты
р /=il |
р ) |