20. (Доходность финансовой операции). Контракт предусматривает по­ гашение долга в сумме 15000 д.е. через 100 дней. Сумма первоначального долга 14000 д.е. Определите доходность операции для кредитора в виде годовой процентной и учетной ставок при начислении простых процентов и временной базе 360 дней.

Глава 1.3. Сложные проценты

1.3.1.Наращение по процентной ставке

Вбанк на депозит положена сумма денег 5(0) под годовую процент­ ную ставку / или под / 100% годовых. Какова будет сумма вклада при начислении на нее сложных процентов в течение л лет?

Очевидно, что если величина ежегодных процентов при исходной

концу первого года (т.е. к концу первого периода начисления процентов) вклад станет равным

5(1) = 5(0) + /, (1) = 5(0) + 5(0)-/ = 5(0)(1 + /), к концу второго года (т.е. к концу второго периода начисления процентов)-

5(2) =5(1)+ / 2(1) = 5(1) + 5(1)*/ = 5(0)(1 + /) + 5(0)(1 +/)•/ =

=5 ( 0 ) - (l+ /)(l+ 0 = 5 (0 )(l+ i)2;

кконцу третьего года -

5(3) = 5(2) + / 3(1) =5(2) + 5(2)/ = 5(0)(1 + 0 2 +5(0)(1 + ;)2•/ =

Рис. 9 Полученная таким образом последовательность 5(1), 5(2), 5(3),

величин наращиваемого ежегодно сложными процентами вклада образует геометрическую прогрессию с первым членом 5(0)*(1 + /) и знаменателем (1 + /). Следовательно, величина наращенного вклада в конце л-го года (л-го периода начисления процентов) может быть найдена по формуле л-го члена геометрической прогрессии, а именно

5(п) = 5(0)(1 + 0(1 + 0 ""' = 5(0)(1 + 0"

суммы наращенного долга при начислении сложных процентов по про­ центной ставке / в течение л периодов.

Величина (1+ |)я является множителем наращения сложных про­

центов но процентной ставке / за л периодов. Для часто используемых в расчетах значений / и л величины множителя наращения сводят в таб­ лицы.

Если на каждом этапе / ( / = 1 , 2 , ..., к) срока вклада процентная

ставка /, меняется, то величина наращенной суммы может быть определе­ на по формуле

(1+ Ь- /) > (1+ i f Поэтому расчет наращенной суммы по формуле (**) да­

ет больший результат, чем по формуле (*) (рис. 10).

Необходимо отметить, что при b е [0; 1] величина (1+ /)* е[1; 1 + /],

поэтому при малых значениях / коммерческие банки при наличии полных периодов начисления процентов обычно принимают сомножитель (1+ i f

равным единице, т.е. (1+ i f «1.

\т) т " 2! \т )

Полученная формула (4Н) наращенной суммы, как мы увидим далее, не является последней. Для сравнения доходов от использования той или иной схемы начисления процентов применяется эффективная процент­ ная ставка, начисление сложных процентов за год по которой дает то же соотношение между 5(0) и S(n)r что и при любой другой схеме начисления

процентов. Например, для получения годового дохода, эквивалентного до­ ходу при начислении сложных процентов по номинальной процентной ставкеj за т периодов величина эффективной процентной ставки находит­

ся из эквивалентности финансовых результатов,, вычисленных по форму­ лам (ЗН) и (4Н), а именно

13.2. Дисконтирование ( учет )

Если по заданной величине погашаемого долга требуется определить величину долга на любой более ранний момент времени, чем время пога­ шения долга, то прибегают ,как известно, к операции дисконтирования или учета заданной величины погашаемого долга.

При дисконтировании сложными процентамй, как и при дисконтиро­ вании простыми процентами, в зависимости от вида используемых про­ центных ставок (i или d) и базы для их начисления различают два типа

дисконтирования (учета): математическое и банковское. Математический учет представляет собой решение обратной за­

дачи к задаче определения величины наращенной суммы первоначального долга. Таким образом, обратная задача состоит в определении первона­ чальной суммы 5(0), которую необходимо дать в долг, чтобы при начисле­ нии на эту сумму сложных процентов по процентной ставке i получить сумму 5(л), подлежащую выплате в конце срока долга.

Ответ на этот вопрос получим, решив уравнение (ЗН) относительно величины первоначального долга:

5(0) = - ^ L = 5(n) .( l+ l)-* = $(„).

0+ 0"

Это есть формула приведенной величины суммы 5(л), подлежащей выплате в конце срока долга, при математическом учете ее в течение п пе­ риодов сложными процентами по процентной ставке /. Величина

И = (1+ i f * называется дисконтным или учетным множителем. Величи­

на дисконта за предоставление денег в долг в этом случае определяется из выражения 30

D(/0 = S(H) - S ( 0) = S(H)-(1- |Я).

При начислении сложных процентов т раз в году в течение п лет по номинальной процентной ставке j формула приведенной величины суммы, подлежащей выплате в конце срока долга, принимает следующий вид:

Vп\)

Вэтом случае величина дисконта за весь срок долга определяется по формуле

D(n) = S (n )-(\-

Некоторые следствия из формул (ЗП, 4П).

1. Чем больше процентная ставка (рис. 12), тем быстрее уменьшаетс величина приведенной (современной) оценки суммы долга. С увеличением срока долга современная оценка суммы долга уменьшается и в пределе стремится к нулю. В самом деле,

lim 5(0)= lim - (,l)- = 0.

2. С увеличением числа периодов т начисления процентов в году личина дисконтного множителя при п = 1 в формуле (4П)

3. Величина 5(0 = 5(0)*(1 + /)/ наращенной суммы первоначально­

го долга 5(0) к моменту t (0 < / < п) равна величине 5 (0 = 5 (H)- (1 +

суммы долга на конец его срока, приведенной к тому же моменту времени t

(рис. 13). Всамомделе, 5(0 = 5(0)• (1-мУ1.(1 + /)“(,," ° = 5(0)-(l + i)/ .

Рис. 13

4.Из выражения для величины дисконта следует, что

при / —>/7, т.е. чем ближе момент времени /, для которого определяется современная величина суммы долга к моменту п погашения этой суммы,

тем меньше величина дохода за предоставление денег в долг.

Банковский учет представляет собой решение той же задачи, кото­

рая решена с помощью математического учета. Однако при банковском учете исходной базой для применения учетной ставки на каждом периоде начисления сложных процентов (дисконтов) является сумма долга, полу­ ченная дисконтированием на предыдущем периоде. Поэтому за один год до выплаты суммы 5(л) необходимо было бы занять сумму, равную

5(л -1) = 5(л) - Dn(1) = 5(л) - d •5(л) = 5(72)•(! - <0;

за два года до выплаты суммы 5(т2) -

5(72- 2) = 5(72 -1) - Dn_,(1) = 5(72). (1- d) - 5(72) • (1 - d )• d =

= 5(л) • (1- d) • (1- d) = S(it) • (1- d ) 2;

за три года -

S{n - 3) = S(n - 2) - Dn_2(1) = S{n) • (1 - d ) 1 - S(n) • (1- d f - d =

= S (n )'(\- d )2 •(!-*/) = 5(w)-(l-</)3 ит. д. (рис. 14).

контами суммы S(n), подлежащей выплате в конце срока долга, образует геометрическую прогрессию с первым членом 5(/7)-(1 - d) и знаменате­ лем (1 —d). Следовательно, величина суммы, которую необходимо взять в долг за п лет до окончания срока его погашения, может быть найдена по формуле /7-го члена геометрической прогрессии, а именно

5(0) = £(/!)• (1- r f ) - ( l - d)"~1= 5(л) -(1- d)" Таким образом, получена формула

(5П) приведенной величины суммы S(n), подлежащей выплате в конце срока долга, при банковском учете ее в течение п периодов сложными дисконта­ ми по учетной ставке d. При этом величина дисконта за предоставление денег в долг определяется через дисконтный (учетный) множитель (1—d)n по формуле

Ш= S(n) - S(0) = S(n) .(1-- (1- d )n).

Если дисконтирование суммы долга производится т раз в году по номинальной учетной ставке f то в каждый период осуществляется учет

сложными дисконтами по процентной ставке —. При этом формула при-

т

веденной суммы долга за N = т-п периодов до момента погашения долга может быть получена аналогично формуле (5П) и будет иметь вид

Эквивалентный финансовый результат дает эффективная учетная ставка */э0 , величина которой находится из равенства финансовых результатов,

вычисленных по формулам (5П) и (6П):

S(n)-(\-d)" =S(n)- t=$d = dэф•