у —У'Х

х0 =*3+“ ~ ,(*4~*з)-

Ул~Уг

Далее для заданного значения у0 е[у3, у4] находится соответствующее ему значение дс0, оценивается |/( х 0)-> '0 1и т.д.

3. Вычислите с точностью до 0,001 единственный положительный корень уравнения f(x) =x5 - х - 0 ,2 , используя метод: а) линейной ин­ терполяции; б) Ньютона.

4.Найдите величину переменной /, при которой функция

рg looo-o+0~3+ loo-

i

принимает значение 850.

Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами

2.2.1.Наращенная сумма

Рассмотрим задачу создания сберегательного фонда. Пусть ежегодно сумма R вносится в конце каждого периода равными долями р раз в году на счет в банке. Начисление сложных процентов по номинальной годовой ставке j производится т раз в году. Требуется определить наращенную сумму такого потока платежей за время г.

Очевидно, что рассматривается р - срочная рента. Если число дней в году равно Куто платежи производятся через К/p дней (рис.23а) или через Мр часть года (рис. 23Ь).

Общее число платежей, произведенных в течение л = т/ К лет, будет равно т /(К/р) = пр.

(р-т к/р) -

НК/р)=К ►

Рис. 23а

-(P-1)'(1/P) -

Р-(1/р)=1------ ►

Рис. 23Ь

Тогда на первый платеж, произведенный через 1/р года после начала ренты, будут до конца ренты начислены сложные проценты т{п - 1/р) раз и сумма этого наращенного платежа к концу срока ренты согласно форму-

ный через 2-(1/р) года после начала ренты, будут до конца ренты начисле­ ны сложные проценты /л {и - 2-(1/р)) раз, и сумма этого наращенного пла-

Таким образом, ответ на поставленный в задаче вопрос может быть найден по формуле

ращения и представляет собой сумму рассматриваемой ренты, годовые выплаты которой равны единице.

Если числитель и знаменатель коэффициента наращения разделить на величинуу/m, то

где snw j/m и sm!p\jlm затабулированы для часто встречающихся вели­

чин m-njlm, т/р.

Из формулы (8Н) легко получить выражение коэффициентов нара­ щения финансовых рент с различными параметрами.

1.Рента с годовым периодом (р = 1) платежей членов ренты R и

числением сложных процентов по процентной ставке / = у один раз в году (т = 1 ):

, _ (1 + 0 ” -1

ЛПА —

I

Для часто встречающихся значений i и п величина коэффициента на­ ращения затабулирована. Отсюда формула наращенной суммы потока пла­ тежей имеет вид

2. P - срочная рента с годовыми платежами Л и с начислением слож ных процентов один раз в году (т = 1) по процентной ставке i:

(1 + 0 " - 1

sp =-

р(1+о ^ -1

3.Рента с годовым периодом (р = 1) платежей членов ренты R и на числением сложных процентов т раз в году (т > 1) по номинальной про­ центной ставкеj:

О+ у / ш Г " - !

,(l +j / m ) m‘” - 1 ______ j ! т_______smn\j/m

j / m

где snwj/m И sm:j/m затабулированы для часто встречающихся величин

m-nj/m, т.

Формула наращенной суммы потока платежей имеет вид

К ) -■

4. Р-срочная рента с годовыми платежами R и начислением сложны процентов р раз в году (т = р):

™=Р _ К Г -

*тп:j/m

Откуда формула наращенной суммы потока платежей имеет вид

5. P-срочная рента с годовыми платежами R и непрерывным начис­ лением сложных процентов по силе роста 8:

С учетом введенного ранее обозначения номинальной процентной ставкиj при непрерывном начислении сложных процентов через 5 имеем

е * п - \

sw.S- р-{еЛ р - \ )

Формула наращенной суммы потока платежей имеет вид

Ре а р - \

6.Рента с годовым периодом (р = 1) платежей членов ренты R и не­ прерывным начислением сложных процентов по силе роста 5:

е*а -1

S"'S e S- \ '

Отсюда формула наращенной суммы потока платежей имеет вид

И - 1 Замечание. Коэффициенты наращения потоков с непрерывным по­

ступлением постоянных платежей (т.е. р -> оо ) при различных способах начисления процентов можно найти, переходя к пределу при р -> оо в соот­ ветствующих формулах коэффициентов наращения р-срочных рент. При этом необходимо учитывать, что приращение показательной функции

/(х ) = а* в точке лг0 равно А/(х0) = д*0+Лг - а х° « ах° - In а-Ах и при

х0 = 0, Ах = \/р, а = 1 + / имеем (\ + i)Up -1 ~ • 1п(1 + /).

Р

Таким образом, коэффициент наращения для непрерывного потока постоянных платежей с ежегодным начислением сложных процентов по процентной ставке / равен