Рента с начислением смешанных процентов

Рента с периодом платежей более одного года (г > 1)

Такие ренты используются для оценки эффективности капитальных вложений. Пусть сложные проценты начисляются по процентной ставке i один раз в году. Тогда современная величина первого платежа, произве­ денного в конце первого периода продолжительностью г лет (рис.32), бу­ дет равна R,.- У = R,. •(1+ /)-г

Rr -vr

Rr -vlr

Рис. 32

Современная величина второго платежа, произведенного в конце второго

периода, будет равна Rr ■i?r = Rr -(1 +i)~2r и т.д. Современная величина

последнего платежа , произведенного в конце /?-го года (п кратно г), равна

Rr - S =Дг -(1 +0~"

Полученный ряд платежей, дисконтированных сложными процентами по процентной ставке /, образует геометрическую прогрессию с первым

членом Rr • 1/ и знаменателем ^ Сумма — членов такой прогрессии оп- /*

рсделястся по формуле

S, • • Ч О ') " " - ! )

где А - современная величина ренты постнумерандо.

Задачи

1. (Страховой фонд). Создается страховой фонд. В конце каждого года делается взнос в размере 40000 д.е. и на собранные деньги начисля­ ются сложные проценты по годовой процентной ставке 0,1. Выведите

формулу наращенной суммы через п лет. Определите размер фонда через 10 лет.

2. (Страховой фонд). В условиях задачи 1 сложные проценты начис­ ляются ежеквартально по годовой процентной ставке 0,12.

3. (Страховой фонд). В конце каждого года Мэри вкладывает 2000 д.е. на счет в банке, где ежегодно на вклады начисляют сложные проценты по годовой процентной ставке 0,1. Найдите величину вклада через 12 лет после первого взноса (с учетом последнего вклада).

4. (Рента пренумерандо). В начале каждого месяца Джо инвестирует 200 д.е. на сберегательный счет, на них ежемесячно начисляют сложные проценты по процентной ставке 0,005 в месяц. Какова будет величина вклада через 2 года ( с учетом последнего 25-го вклада)?

5. (Член ренты). Через 6 лет компания должна отдать долг по вексе­ лям в размере 1 млн. д.е. Для того, чтобы аккумулировать эту сумму, ком­ пания планирует выплачивать в начале каждого года в страховой фонд не­ которую сумму К. Последний взнос компания делает за год до оплаты век­ селей. Если фонд начисляет сложные проценты по годовой процентной ставке 0,08, то какова должна быть величина ежегодных вкладов?

6. (Страховой фонд). Найдите величину сбережения на конец: а) 10-го года, если в конце каждого года депонируется 1000 д.е. для начис­ ления сложных процентов по годовой процентной ставке 0,08; Ь) 5-го года, если в конце каждого года депонируется 2000 д.е. для начисления сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06; с) 4-го года, если в конце каждого полугодия депонируется 500 д.е. для начисления сложных про­ центов по годовой процентной ставке 0,06; d) 6-го года, если в конце каж­ дого квартала депонируется 1000 д.е. для начисления сложных процентов по годовой процентной ставке 0,08; е) 3-го года, если в конце каждого ме­ сяца депонируется 200 д.е. для начисления сложных процентов по годовой процентной ставке 0,12; f) 5-го года, если в конце каждых 4-х месяцев де­

понируется 500 д.е. для начисления сложных процентов по годовой про­ центной ставке 0,09.

7.(Страховой фонд). Для создания страхового фонда ежегодно вы­ деляется 4000 д.е. На аккумулируемые средства начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке 0,06. Определите общую сумму фонда через 5 лет, если: а) средства поступают в конце каждого года, а проценты начисляются каждые полгода; Ь) средства поступают в конце каждого квартала, а проценты начисляются каждые полгода; с) поступления и начисления производятся каждый квартал.

8.(Страховой фонд). Условия контракта предусматривают ежегод­ ные взносы в сумме 40000 д.е. в течение 5-ти лет. Определите наращенную

кконцу срока ренты сумму при непрерывном начислении сложных про­ центов по силе роста 0,06 с учетом того, что взносы производятся: а) раз в конце года; Ь) каждое полугодие; с) поквартально.

9.(Страховой фонд). В условиях задачи 8 задана эффективная про­ центная ставка 0,06. Определите наращенную сумму при непрерывном на­ числении сложных процентов.

10.(Текущий долг). Для начала своей деятельности небольшая ком­ мерческая фирма решила взять кредит в банке. Ежемесячные выплаты, осуществляемые должником, дисконтируются по процентной ставке 0,01. Кредит предоставляется при условии, что он будет погашен за 24 месяца. Фирма, оценив свои возможности и предлагаемые условия, решила, что она может выплачивать в месяц 1500 д.е. Какова сумма максимального кредита?

11.(Современная величина). Каждый член ренты 500 д.е., выплачи­ ваемый в конце года, дисконтируется сложными процентами по годовой процентной ставке 0,06. Определите современную величину ренты при ус­ ловии, что срок ренты равен 10 годам.

12.(Современная величина). Величина члена ренты, равного 1000 д.е., ежеквартально дисконтируется сложными процентами по номиналь­ ной годовой процентной ставке 0,1. Срок ренты 4 года. Рассчитайте совре­ менную величину ренты.

13.(Современная величина). Нефтяная компания должна ежемесячно выплачивать Джо пенсию 300 д.е. Предполагая, что годовая номинальная процентная ставка равна 0,12 при начислении сложных процентов, посчич тайте современную величину 48 пенсионных выплат, если первая выплатя будет сделана в первый месяц текущего года. Определите также современч ную величину 96 и 144 пенсионных выплат.

14.(Современная величина). Мр. Форду исполнилось 65 лет. Начич ная со своего 66-летия он хотел бы в течение последующих 10 лет получ чать ежегодно по 5000 д.е. Страховая компания начисляет на вклады слоЖч ные проценты по годовой процентной ставке 0,08. Какую сумму должен положить Форд на счет в страховую компанию, чтобы осуществить свое желание?

15. (Текущий долг). Молодожены имеют годовой доход 45000 д.е. Ипотечный банк дает в долг сумму, которая должна постоянно погашаться одной третьей месячного дохода. Если банк использует начисление слож­ ных процентов по месячной процентной ставке 0,012 и долг погашается в течение 25-ти лет, то какова может быть величина взятого кредита?

16.(Аннуитеты). Найдите современную величину аннуитета, если:

a)полугодовые платежи в течение 5-ти лет равны 2000 д.е. при начислении сложных процентов каждые 6 месяцев по годовой процентной ставке 0,1; B) квартальные платежи в течение 3-х лет равны 750 д.е. при начислении

сложных процентов каждый квартал по годовой процентной ставке 0,08; c) ежемесячные платежи в течение 2-х лет равны 300 д.е. при начислении сложных процентов каждый месяц по годовой процентной ставке 0,09.

17. (Аннуитеты). Некто желает приобрести аннуитет с ежегодными выплатами, равными 8000 д.е., в течение последующих 15 лет. Если на сумму вклада начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке 0,06, какова стоимость этого аннуитета?

18. (Аннуитеты). Если прогнозируемая продолжительность жизни после ухода на пенсию для мужчин равна 12-ти годам, то определите стоимость аннуитета с ежегодным 10000 д.е. платежом при начислении сложных процентов по годовой процентной ставке: а)0,08; Ь) 0,05; с) 0,07.

19. (Современная величина). Владельцы химического завода в Бхо­ пале (Индия) предложили в качестве компенсации за ущерб, нанесенный окружающей среде в результате аварии, выплатить 200 млн. долларов в те­ чение 35-ти лет ежемесячными равными платежами. Найдите современную величину указанной компенсации при ежемесячном дисконтировании пла­ тежей сложными процентами по годовой процентной ставке 0,1.

20. (Современная величина). По контракту необходимо выплачивать ежегодно 10000 д.е. в течение 5-ти лет. Какая сумма необходима для вы­ полнения условий контракта при начислении на платежи сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 0,08, если: a) выплаты производятся один раз в конце года, проценты начисляются раз в полгода; Ь) выплаты производятся ежеквартально, начисление процентов каждый квартал?

21. (Рента пренумерандо). В начале каждого года на счет инвестиру­

B) к концу 5-го года.

22. (Член ренты). Определите размер одинаковых взносов в конце каждого года при начислении на них сложных процентов по годовой про­ центной ставке 0,08 для: а) создания к концу 5-го года фонда, равного 1 млн. д.е.; Ь) погашения текущей задолжности, равной 1 млн. д.е. в тече­ ние 5-ти лет.

23. (Член ренты). Фред берет долг на 5 лет под недвижимость. Через 5 лет величина долга станет равной 19500 д.е. Чтобы вернуть этот долг, Фред планирует класть ежемесячно в банк некоторую сумму денег R. На эти вклады банк начисляет ежемесячно сложные проценты по годовой процентной ставке 0,09. Первый взнос Фред делает немедленно, а послед­ ний - перед оплатой закладной. Какова должна быть величина ежемесяч­ ных взносов, если закладная оплачивается полностью?

24. (Член ренты). Определите величину депонируемой суммы в кон­ це: а) каждого года, чтобы к концу 6-го года сумма вклада составила 15000 д.е. при начислении сложных процентов по годовой процентной ставке 0,08; Ь) каждого полугодия, чтобы к концу 10-го года сумма вклада соста­ вила 50000 д.е. при начислении каждые иолгода сложных процентов по го­ довой процентной ставке 0,06; с) каждых 3-х месяцев, чтобы к концу 4-го года сумма вклада составила 20000 д.е. при ежеквартальном начислении сложных процентов по годовой процентной ставке 0,08;

d) каждого месяца, чтобы к концу 3-го года сумма вклада составила 8000 д.е. при ежемесячном начислении процентов по годовой процентной став­ ке 0,12.

25. (Член ренты). Семья делает равные ежемесячные вклады для на­ числения на них сложных процентов по месячной процентной ставке 0,005. Спустя 3 года после открытия счета деньги со счета были сняты и на них был куплен дом. Определите величину ежемесячных взносов, если стоимость дома 8000 д.е.

26. (Член ренты). Отец решил дать своему сыну через 8 лет универ­ ситетское образование. Он подсчитал, что к этому моменту ему необходи­ мо иметь 20000 д.е. Для этого он решил депонировать ежемесячно некото­ рую сумму денег R под сложные проценты по годовой процентной ставке 0,06. Найдите величину R.

27. (Член ренты). Служащий госучреждения решил отправиться че­ рез 5 лет в туристическую поездку по Австралии. Для этого он начал еже­ годно депонировать некоторую сумму под сложные проценты по процент­ ной ставке 0,06, чтобы накопить сумму 15000 д.е. Определите величину одинаковых ежегодных вкладов.

28. (Член ренты). Чтобы через 10 лет приобрести оборудование по цене 120000 д.е., фирма планирует создать резервный фонд. Сумма еже­ квартальных взносов, которые депонируются под сложные проценты, на­ числяемые каждый квартал по годовой процентной ставке 0,08, равна 1986,69 д.е. После 34 взноса (8,5 лет) годовая процентная ставка увеличи­ лась до 0,12. Определите величину квартальных взносов в оставшийся пе­ риод.

29. (Член ренты). Фирма планирует купить через 12 лет оборудова­ ние за 200000 д.е. Чтобы осуществить этот план, фирма каждый год вкла­

дывает деньги в резервный фонд для начисления сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06. Первоначальные взносы были по 11855,41 д.е. После 8-ми лет банк увеличил годовую процентную ставку до 0,08. Какой величины были взносы в оставшийся период?

30. (Член ренты). Вычислите сумму, получаемую в конце каждо­

го:

a) года в течение 8-ми лет, если за аннуитет при начислении сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06 заплатили 30000 д.е.; B) месяца в течение 3-х лет, если за аннуитет получен за счет вложения 25000 д.е. при начислении сложных процентов по годовой процентной ставке 0,12.

31. (Член ренты). Ожидаемая продолжительность жизни для мужчин после ухода на пенсию равна 12-ти годам. Если мужчина в 25 лет имеет 100000 д.е. для приобретения аннуитета, то какую ежегодную пенсию он может получать при начислении сложных процентов по годовой процент­ ной ставке 0,08?

32. (Член ренты). Мэри получила наследство 10000 д.е., которые она вложила под начисление сложных процентов по годовой процентной став­ ке 0,06 для приобретения аннуитета. Мэри желает в конце каждого года брать сумму R для отдыха на Гавайях. Определите величину R, если по­ следняя выплата использована через 10 лет.

33. (Член ренты). Сэм, уходя на пенсию, инвестировал 120000 д.е. на сберегательный счет для начисления сложных процентов по годовой про­ центной ставке 0,05. В начале каждого года он берет некоторую сумму R для своих расходов в наступающем году. Если последние деньги получены через 15 лет, какова должна быть величина Я?

34.(Член ренты). В задаче 33 определите величину вклада, если вы­ платы производятся в течение 10-ти лет.

35.(Член ренты). Текущий долг выплачивается в течение 40-ка ме­ сяцев одинаковыми платежами. Величина долга 5000 д.е. Если на долг на­ числяются сложные проценты по ежемесячной процентной ставке 0,01, ка­ кова должна быть величина ежемесячного взноса для погашения долга?

36.(Член ренты). Если в задаче 35 долг выплачивается в течение

18-ти месяцев, то какова должна быть величина ежемесячных взносов для погашения долга?

37. (Член ренты). Сумма долга банку 6000 д.е. Банк начисляет на долг сложные проценты по годовой процентной ставке 0,12. Погаситель­ ные выплаты производятся в конце каждого года. Если долг погашается за 4 года, то каковы ежегодные погасительные выплаты?

38. (Член ренты). Кредит 40000 д.е. выплачивается ежемесячными платежами в течение 25-ти лет (300 платежей). Посчитайте величину еже-

^ пм «Я лолг начисляются сложные проценты по промесячных взносов, если на дол!

центной ставке 0,0075 в месяц.

39. (Член ренты). В задаче 38 кредит гасится за. а) 20 лег, Ь)5лет,

С) 15 Л40' (Член ренты). Джо имеет возможность приобрести новый авто­ мобиль по цене 15000 д.е. со скидкой в 10%. Необходимую сумму он берет

сложные проценты^по годовой процентной ставке 0,009 ежемесячно. Определи™ причину ежемесячных погасительных азносоп, если долг гасите»

36 к, ежемесячными выплатами. Какова величина процентных денег поело

30-ти выплат? Семья планирует купит» новый автомобиль за

10000 д.е. Эту сумму семья взяла в долг на 36 месяцев „од сложные про­

центы по процентной ставке 0,0075 в месяц. Определите величину ежеме-

сячных выплат 43 (Член ренты). В задаче 42 существует альтернативный вариант

покупки автомобиля, а именно за 3 года до приобретения автомобиля в KOHL каждого месяца в течение 36 месяцев семья кладет на сберегатель­ ный счет под сложные проценты по процентной ставке 0,005 в месяц неко­ торую сумму, чтобы к моменту покупки иметь необходимые деньги. За это время цена автомобиля увеличивается ежегодно на 5%. Определите вели­ чину ежемесячных вкладов, чтобы можно было купить машину.

44 (Срок ренты). В конце какого года сумма станет равной: a) 5486645 д е. при депонировании в конце каждого гадд 100 д.е. для на­ числения сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06, B) 2950,21 д.е. при депонировании 75 д е. в конце каждого месяца для на­ числения саж ны х процентов по годовой процентной етавке 0,06.

45 (Процентная ставка). 1 млн. д.е., вложенньш в проект, приносит в течение 15-ти лет ежегодно доход в 100 тыс. руб. Определите доходность инвестиций, выраженную в годовой процентной ставке, если доход выпла­ чивается а) в конце каждого года; б) в конце каждого квартала.

46. (Процентная ставка). В течение 10-ти лет необходимо создать страховой фонд за счет ежегодных взносов по 100 тыс. д.е. Определите ве­ личину процентной ставки, по которой должны начисляться сложные про­

центы для создания фонда величиной 2 млн. д.е.

47 (Процентная ставка). Государственна облигация с годовой нор-