1.1.3. Числовые последовательности. Прогрессии. Степенные ряды

Основой для финансовых расчетов и анализа при решении задач с разовыми платежами служат такие математические понятия, как числовые последовательности, прогрессии и степенные ряды. Напомним их.

1.Числовой последовательностью {*,,} называют функцию, опреде

ленную на множестве натуральных чисел, т.е. при п е N Например,

2. Арифметическая прогрессия - это числовая последовательность {ап}, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью арифмети­ ческой прогрессии, т.е. для V neN ап+\ - ап = d\ при этом если d > 0, то

прогрессия возрастающая, если d < 0 - убывающая, а при d = 0 - стацио­ нарная.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключа­ ется в следующем: { ап} является арифметической прогрессией, если для

V neN ап+1 = -+-2 , т.е. любой ее член, начиная со второго, есть

среднее арифметическое предшествующего и последующего членов. Величина /i-го члена арифметической прогрессии определяется по

формуле а„= + d (n-1), а сумма п первых членов по формуле

Из определения разности арифметической прогрессии следует, что сумма членов, равноудаленных от первого и /i-го членов прогрессии, вели­ чина постоянная, т.е. +ап = а2 + Д,|_| =

3. Геометрической прогрессией называют числовую последователь ность {Ь„ }, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная

со второго, равен предшествующему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называемое знаменателем геометрической прогрессии,

т.е. для V n e N : = q ; при q > 0 и q ф 1 геометрическая прогрессия мо-

ьп

нотонная, при q = 1 - стационарная.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии заключа­

ется в следующем: { Ьп} является геометрической прогрессией, если для V

о

neN: b„+\ =Ьп *Ьп+2, т.е. каждый член, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдущего и последующего членов.

Величина л-го члена геометрической прогрессии вычисляется по формуле bn = 6| •qn~*, а сумма первых л членов - по формуле:

s - b,r g - b , _ b] -(q"-\)

цов прогрессии, есть величина постоянная.

4. Известно, что если функция Дх) имеет производные любого по­ рядка в окрестности точки х = а, то она может быть представлена в виде степенного ряда (ряда Тейлора), а именно

Задачи

1.(Процентная ставка). В конце третьего года величина вклада стала равной 180 денежных единиц (д.е.). Найдите величину годовой процент­ ной ставки, по которой начислялись проценты в сумме 20 д.е. за каждый год.

2.(Учетная ставка). За пять месяцев до погашения векселя был произ­ веден его переучет на сумму 72 д.е. Найдите величину месячной учетной ставки, если сумма ежемесячного дисконта равна 1,6 д.е.

3.(Процентная ставка). В начале 1990 года был сделан вклад. Вклад ежегодно увеличивался за счет процентов на 100 д.е. Какова была величи­ на годовой процентной ставки, если к началу 1995 года сумма вклада стала равной 1400 д.е.?

4.(Учетная ставка). Вексель, погашаемый в конце декабря 1994 года, учтен в конце февраля этого же года на сумму 180 д.е. Какова величина месячной учетной ставки, если ежемесячный дисконт был равен 2 д.е.?

5.(Процентная ставка). Через два года сумма вклада стала равной 233,28 д.е. Какова величина годовой процентной ставки, если проценты за первый и второй годы соответственно составили 16 и 17,28 д.е.?

6.(Учетная ставка). Срок погашения государственной облигации в 1995 году. При ее учете за два года до погашения была получена сумма 6400 руб. Какова величина годовой учетной ставки, если дисконты за последний

ипредпоследний годы до погашения составили соответственно 2000 и 1600 руб?.

7.(Последовательности). Найдите л-й и указанный член последователь­

8. (Величина элемента АП). Найти л-й элемент арифметической про­ грессии (АП) ап, если: а) а5 = 38, а]0 = 23, л = 2, л = 15; Ь) а5 = 18,

а,о =30, л = 3, л = 20; 9. (Число элементов АП). Найти число л элементов арифметической

прогрессии 5, 14,23,32,..., если ее л-й элемент ап = 239.

10.(Число элементов АП). Последний элемент арифметической про­ грессии 20, 18, 16, . равен -4. Найти число элементов арифметической прогрессии.

11.(Сумма АП). Найти сумму указанных элементов арифметической

прогрессии, если: а) 1,4, 7 , . . . , п = 30; Ь) 70, 68, 6 6 , . . . , п = 15; с) 51,48, 4 5 , . . . , 18; d) 15, 17, 1 9 , ... , 55.

12.(Число элементов АП). Сколько элементов содержит арифметиче­ ская прогрессия 9, 12, 1 5 , ... , если ее сумма равна 306?

13.(Число элементов АП). Найти число элементов арифметической прогрессии -12, -7, - 2 , . . . , если ее сумма равна 105.

14.(Величина выплат). Последовательность ежемесячных платежей, которые банк выплачивает вкладчику за вклад некоторой суммы денег, со­ ответствует арифметической прогрессии. Определите выплату, произве­ денную банком за пятнадцатый месяц и за двадцать месяцев, если выплаты за шестой и десятый месяцы соответственно равны 345 и 333 д.е.

15.(Сумма выплат). Некто занял в банке 5000 д.е. под \% в месяц. За­ тем он каждый месяц возвращает оговоренный один процент от оставшей­ ся к моменту очередной выплаты суммы долга плюс взнос в 200 д.е. Опре­ делите, сколько месяцев необходимо делать взносы, чтобы вернуть заня­ тые 5000 д.е. Напишите формулу для расчета величины ежемесячных срочных уплат. Какова общая сумма выплат?

16.(Количество выплат). Некто возвращает беспроцентный долг 5800 д.е. несколькими взносами. При этом каждый взнос, начиная со второго, увеличивается на постоянную величину, равную 20 д.е. Если первый взнос равен 100 д.е., определите количество взносов для выплаты всего долга.

17.(Сумма выплат). Долг в 1800 д.е. выплачивается в течение года взносами в размере 1% в месяц от суммы долга к моменту очередного взноса плюс 150 д.е. в конце каждого месяца. Напишите формулу для рас­ чета величины ежемесячных выплат. Определите общую сумму выплат.

18.(Количество выплат). Некто договаривается выплачивать долг 1800 д.е. в несколько взносов. Каждый взнос, начиная со второго, меньше пре­ дыдущего на 10 д.е. Если пятый взнос составляет 200 д.е., найдите количе­ ство взносов, которые необходимо сделать для погашения долга.

19.(Величина выплат). Некто отдает приятелю беспроцентный долг в сумме 1530 д.е. в течение 12 месяцев. Первый взнос составил 100 д.е., а каждый последующий был больше предшествующего на одну и ту же ве­ личину. Определите размер последнего взноса и величину, на которую ка­ ждый взнос отличался от другого.

20.(Процентные деньги). Некто занял 4000 д.е. под 1% в месяц за ос­ новную сумму к моменту очередного взноса. Каждый месяц он отдает 200

д.е. плюс указанный 1%. Напишите формулу величины и-го взноса. Рас­ считайте общую сумму процентных денег.

21.(Процентные деньги). Некто взял в долг 5000 д.е. в банке для покуп­ ки автомобиля. Банк берет ежемесячно 1% от величины долга на момент очередного взноса. Если долг погашается за 48 месяцев, то каков послед­ ний взнос и величина процентных денег?

22.(Амортизационные отчисления). Фирма приобрела машину за 1700

д.е. Ежегодно ценность машины уменьшается на 150 д.е. Остаточная стои­ мость машины 200 д.е. Каков срок использования машины? Напишите формулу определения стоимости машины для каждого года.

23.(Амортизационные отчисления). Фирма приобрела машину за 1500 д.е. К концу 9-го года машина оценивалась в 120 д.е. Предполагая, что ежегодные амортизационные отчисления постоянны, найти их величину.

24.(Величина выплат). Ежемесячная зарплата одного из сотрудников СП растет в соответствии с арифметической прогрессией. В течение пер­ вых семи месяцев года он заработал 1043 д.е., а за оставшиеся пять месяцев 1015 д.е. Найдите стартовый заработок и величину ежемесячного роста его зарплаты. Какова будет зарплата через 38 лет перед уходом на пенсию?

25.(Последовательность). Найти выражение для и-го члена последова­

тельности, если: а) 3, 6, 1 2 , ... ; Ь) 3, -9, 27, - 8 1 , . . . ; с) 2/9, -1/3, 1/2,... ; d) 2/5, -1/2, 5/8,....

26. (Количество элементов ГП). Задана геометрическая прогрессия (ГП). Найти величину п, если: а) 96,48, 2 4 , . . . , Ьп = 3/16; Ь) 18, 12, 8 , . . . , Ьп =512/729.

27.(Величина элемента ГП). Задана геометрическая прогрессия. Найти Ь\ и 6j0, если t>2 = 24, Ь5 = 81.

28.(Сумма ГП). Определите сумму п членов последовательности, если:

29.(Сумма ГП). Затраты на бурение скважины сформировались так: 15 д.е. за первый метр с увеличением на 1% за каждый последующий метр. Найти затраты на бурение 500-го метра и общие затраты, если скважина пробурена на глубину 600 метров.

30.(Сумма ГП). Если v= (1 + /)-1, покажите, что v+ & + 1?+...= -7 .