- •МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •Глава 1.1. Основные понятия и математический аппарат
- •1.1.1. Проценты и процентная ставка
- •1.1.3. Числовые последовательности. Прогрессии. Степенные ряды
- •1.2.1. Наращение по процентной ставке
- •Переменная процентная ставка
- •Реинвестирование вкладов
- •1.23. Наращение по учетной ставке
- •1.2.4. Срок долга. Величина процентной ставки
- •Глава 1.3. Сложные проценты
- •1.3.1. Наращение по процентной ставке
- •1.3.4. Непрерывное наращение и дисконтирование
- •1.3.5. Срок долга. Величина процентной ставки
- •1.4.1. Эффективность различных ставок
- •Замечания.
- •Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами
- •2.2.2. Современная величина
- •Замечания.
- •Рента с начислением смешанных процентов
- •Глава 23. Потоки с переменными платежами
- •23.2. Относительное изменение платежей
- •Глава 2.4. Сравнительный анализ. Приложения
- •Замечание.
- •2.4.2. Безубыточное изменение потоков платежей
- •Серия "Российская Экономическая Академия им. Г.В.Плеханова"
- •Серия "Индустрия гостеприимства"
- •Серия "Учебники для экономических и неэкономических ВУЗов"
- •Серия "Прогрессивная экономическая мысль Европы"
- •По вопросам приобретения книг и за дополнительной информацией просим обращаться:
Глава 2.4. Сравнительный анализ. Приложения
2.4.1. Эффективность различных потоков платежей Величины наращенных сумм обычных рент, а также потоков с не
прерывным поступлением постоянных платежей рассчитываются по фор мулам (8Н) - (17Н). Очевидно, что при одинаковых годовых выплатах, сроках и процентных ставках величины наращенных сумм определяются характером зависимости коэффициентов наращения от срока и процентной ставки ренты. Выясним характер этих зависимостей. Для каждого коэффи циента наращения разложим в ряды их числители и знаменатели до третье го и второго слагаемых, соответственно (табл. 12).
№
формулы
9Н
11Н
14Н
ЮН
8Н
13Н
Формулы |
|
Приближенные значения |
||||||
коэффициентов |
|
коэффициентов |
||||||
наращения |
|
|
наращения |
|
||||
.« |
_ 0 + « У - | |
|
|
1+ш +(1 / 2)и(и - l)i2 -1 |
||||
лпи |
“ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
„| |
ЛИ т) |
|
|
\+nmj |
|
|
||
|
|
т |
2 |
,„2 |
||||
nnjlm |
, |
.у„ |
|
|
1+m-—-1 |
|
||
|
|
И |
- |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
т |
|
||
, |
|
е * " - 1 |
|
|
1+ S n + S n 2 /2 - 1 |
|||
S":' = eS- \ |
|
|
|
\+ s - \ |
|
|||
„ р _ |
(1+0"-1 |
|
|
, , . , л(/1 —1) |
.2 . |
|||
|
|
|
2 |
|
||||
,ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р(1 +( ! /р ) ч - 1 ) |
|||
|
|
И |
Г - 1 |
|
1+11я; |
M m » - ! ) ./ |
||
.р |
- |
|
т |
2 |
,„2 |
|||
V |
т) |
\ |
||||||
mijlm |
(. |
.v,/« |
|
|
|
|||
|
|
( И |
) |
-') |
|
Н |
Л ~ ] |
|
|
|
|
|
|
|
1+ S* i\+ S п2 / 2 —1 |
||
"'S |
р{еа р - 1) |
|
pd+^/p-D |
|||||
Таблица 12 Приближённое значение коэф. наращения при процентной ставке /
■ M B i)
■ • К )
Продолжение таблицы 12
|
(1 + 0 " - 1 |
, . |
. , п(п - 1 ) -2 , |
|
|||||||
15Н |
1+ Ш + —i -------L |
. | A -1 |
|
||||||||
s ":i |
1п(1 + 0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - i 2 / 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - / / 2 |
||
|
|
|
|
, +OT1> |
|
i |
|
|
n -(i+ fn —L \ i |
||
16Н |
, imjlm_ |
М ( |
- \ |
|
|
m |
|
2 |
|
n r |
^ V m j 2/ |
|
|
|
|
S |
|
|
4,+4) |
||||
|
|
■ 4 % |
) |
|
|
J |
i |
- l |
i |
) |
1 -— |
|
|
|
|
2m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
n? |
|
2y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17Н |
|
e S n - \ |
|
|
\ + |
S -n + |
<?n2 / 2 - l |
|
|||
s ,v.S~ |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из табл. 12 следует, что |
s]i:i <s'lim.Jlm < s ':<y и |
sp:i <spmn,jlm <sp g. |
|||||||||
Так как в знаменателе выражения для |
|
|
мы пренебрегли величиной |
||||||||
|
|
1 |
J2 |
( т (т |
х |
>0, т > р |
|
||||
|
|
= |
|
0, т = р |
|
||||||
|
|
2 |
т2 |
ур |
\ р |
|
|
|
|||
|
|
|
<0, /я<р, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
р<т |
р-т |
р>т |
|
|
|
|
|
|
|
||
т о s mn:Jim ^ 5л и г . j/m < 5л и г . j / ш |
* |
|
|
|
|
|
|
||||
Взяв в разложениях хотя бы на одно слагаемое больше в числителе и знаменателе формул коэффициентов наращения потоков с непрерывным поступлением постоянных платежей, можно получить
sn:t<smn:j/m<sn:S' Аналогично при р> 1 будем иметь sln:f< s£:i9 а
также S":£<Sni. Поэтому для величин наращенных сумм справедливо со
отношение
S(l, 1) < 5(1, т) < 5(1, оо) < S(p, 1) < 5(р < т) < 5(р = т) < S(p >т)<
< S(p, оо) < S(co, I) < 5(оо, т ) < S(oo, оо),
где в скобках первый индекс соответствует частоте платежей в году - р, второй - частоте начисления процентов в году - т , при этом, если т = оо, то производится непрерывное начисление процентов по силе роста S, если же р = оо, то рассматривается поток с непрерывным поступлением постоянных платежей.
Характер зависимостей величин коэффициентов наращения от про должительности срока долга приведены на рис. 38.
104
Из полученных в табл. 12 приближений коэффициентов наращения для всех типов обычной ренты следует, что для одного и того же срока большему значению процентной ставки соответствует большее значение коэффициента наращения (рис.39).
Соотношения между современными величинами рассматриваемых типов потоков платежей могут быть получены как и соотношения между наращенными суммами этих потоков и будут иметь следующий вид:
/1(1,оо) <Л(1,/и)</1(1, 1) < Л(р, со) < А(р > т) < А(р = т) < Л(р<т)< < А[р, 1) < Л(ао, оо) < Л(оо, т) < А(оо, 1).
Графики зависимостей коэффициентов приведения рассмотренных типов обычных рент и потоков с непрерывным поступлением постоянных платежей представлены на рис. 40.
Отметим, что для одного и того же срока большему значению про центной ставки соответствует меньшее значение коэффициента приведе ния (рис. 41).
Рис. 38
▲
amn\j!m
an&
лР>т amn:j/m
ар=тч
aP<m
amn:j/m
an£
amn:j/m
<*ls
—►
П
Рис. 40