Глава 1.2. Простые проценты

1.2.1.Наращение по процентной ставке

Вбанк на депозит положена сумма денег 5(0) (т.е. банку дали в долг) под годовую процентную ставку / или под /100% годовых. Какова будет сумма вклада (долга банка вкладчику) при начислении на нее в течение л лет простых процентов?

Очевидно, что если величина ежегодных процентов (процентных денег) при исходной базе, равной сумме первоначального вклада 5(0), принимает значение равное / / (1) = 5(0)-/ при / = 1,2, ..., л, то к концу первого года

(т.е. к концу первого периода начисления процентов) вклад станет равным

5(1) = 5(0) + /, (1) = 5(0) + 5(0) / = 5(0)-(1 + /);

к концу второго года (т.е. к концу второго периода начисления процентов)-

5(2) = 5(1) + /2(1) = 5(0)-(1 + /) + 5(0) / = 5(0) -(1 + 2/);

к концу третьего года.

5(3) = 5(2) + / 3(1) = 5(0) -(1 + 2/) + 5(0) / = 5(0)-(1 + 3/)

и т.д. (с. рис. 2).

5 (0 ) (1 + 2 /)

5 (0 ) (1 + 3 /)

Рис. 2 Таким образом, полученная последовательность 5(1), 5(2), 5(3),

величин наращиваемого ежегодно простыми процентами вклада образует арифметическую прогрессию с первым членом - 5(0)-(1 + /) и разностью - 5(0)*/. Следовательно, величина наращенного вклада в конце л-го года (л- го периода начисления процентов) может быть найдена по формуле л-го члена арифметической прогрессии

суммы наращенного долга при начислении простых процентов по про­ центной ставке / за л периодов.

Величина (1 + n-i) называется множителем наращения простых процентов по процентной ставке / за п периодов. Множитель наращения показывает, во сколько раз наращенная сумма вклада больше суммы пер­ воначального вклада, при этом величина процентов (процентных денег) равна I(n) = S(0)-n-i.

Характер изменения суммы наращенного вклада при начислении

г .. простых процентов по процентной ставке i от числа периодов п = — ее

Z*

использования изображен на рис. 3.

Возможные варианты расчета процентов, точные или обыкновенные (банковские) проценты, с точным или приближенным числом дней в году в зависимости от выбора временной базы (К) для определения периода при­ менения процентной ставки и способов расчета числа дней г пользования долгом сведены в табл. 2.

Замечания.

1.При определении числа дней в сроке долга день выдачи и день по­ гашения долга принимаются за один день.

2.Величина процентов при приближенном вычислении количества дней в сроке долга обычно не больше, чем при точном вычислении коли­ чества дней в сроке долга, т.е. 1б( тп ) < 1б( Тр).

3.Между точными и обыкновенными процентами с точным опреде­ лением количества дней в сроке долга существует соотношение

эквивалентности между процентными ставками с различными временными базами, а именно:

ответствующая начислению 10% в год на первоначальную сумму при вре­ менной базе К = 360 дней, дает тот же результат, что и годовая процентная

10,13889% в год на первоначальную сумму при временной базе К = 365 дней.

Переменная процентная ставка

Если на разных этапах jf (f = 1,2, к) всего срока долга г, состоя­

щего из к этапов, величина процентной ставки для начисления простых

где nt = — - число периодов начисления простых процентов по процент-

К

ной ставке /, на /-м этапе срока долга, а ц + 25+...+ 5 = г.

Реинвестирование вкладов

Если денежный вклад, наращенный простыми процентами на этапе / срока вклада по процентной ставке /,, инвестируется для начисления про­ стых процентов по процентной ставке ii+\ на этапе t + 1 срока вклада, то наращенная сумма вклада за весь срок N = щ + + + я*, состоящий

из к этапов, может быть найдена по формуле

к

S(N) = S(Q)-(\ + n] •/])*(1 +/i2 -/г) • О+л* ,/а ) = £(0)-11(1 +/1/

/=1

где nt число периодов начисления простых процентов по процент­

К

ной ставке /, на f-м этапе срока вклада.

Такой способ инвестирования денежных средств называется реинве­ стированием вклада.

Если в каждом этапе срока вклада одинаковое число периодов на­ числения простых процентов и одинаковая процентная ставка, т.е. для V/ е {1, 2,..., k}: nt = л, /\ = /, то наращенная сумма вклада за весь срок

N = k n составит:

S(N) =S(0)-(\ + n-i)k,

где к - число операций реинвестирования.

1.2.2. Дисконтирование ( учет)

Мы уже знаем, что если по заданной величине погашаемого долга требуется определить величину долга на любой более ранний момент вре­

мени, то прибегают к операции дисконтирования или учета заданной вели­ чины погашаемого долга.

Взависимости от вида используемой процентной ставки и базы для

ееначисления различают два вида дисконтирования (учета): математиче­ ское и банковское (коммерческое).

Математический учет представляет собой решение обратной за­ дачи к задаче нахождения наращенной суммы первоначального долга, т.е. позволяет определить, какую первоначальную сумму 5(0) необходимо по­ ложить на депозит, чтобы при начислении на эту сумму (эта сумма являет­ ся базой) простых процентов по процентной ставке / получить сумму, под­ лежащую выплате в конце срока вклада л = г/К. Ответ на этот вопрос по­ лучим, если решим уравнение (1Н) относительно величины 5(0), а именно

Это есть формула приведенной величины суммы 5(л), подлежащей выплате в конце срока вклада, при математическом учете ее в течение л периодов простыми процентами по процентной ставке /.

S(n)-n-i

Dl(л) = S(n) - 5(0) = —— --------величина дисконта. 14- л • I

Банковский учет представляет собой решение той же задачи, кото­ рую решали с помощью математического учета. Однако при банковском учете исходной базой для применения учетной ставки на каждом периоде начисления и удержания простых процентов (дисконтов) в течение всего срока вклада л = dK является сумма 5(л), подлежащая выплате в конце срока вклада. Поэтому если величина дисконта каждый год принимает значение, равное Dt ( 1) = 5(л) • d при t = 1, 2 , . . . , л, то за один год до вы­

~-S(r>Xl-2d)

- 5 ( « ) ( l- 3 r f )

...........

Рис. 4 Полученная таким образом последовательность приведенных вели­

чин при ежегодном учете простыми дисконтами суммы S(n), которая под­ лежит выплате в конце срока вклада, образует арифметическую прогрес­ сию с первым членом S ( n )( \- d ) и разностью (-S(ri) d).

Следовательно, величина суммы, которую необходимо инвестиро­ вать за л лет до окончания срока вклада для того, чтобы в конце срока вклада получить сумму 5(л), может быть найдена по формуле л-го члена арифметической прогрессии:

приведенной величины суммы 5(л), подлежащей выплате в конце срока вклада при банковском учете ее в течение л периодов простыми дисконта­ ми по учетной ставке d. Величина (1 - n d) является дисконтным множите­ лем, л = dK - число периодов использования учетной ставки d. Величина дисконта равняется

Dd (л) = 5(л) - 5(0) = 5(л) - 5(л)( 1 - n d) = S(n) n-d. Замечание. Разложив дисконтный множитель в формуле (1П) в сте­

пенной ряд до третьего члена включительно, имеем 5 ;(0)= 5(л) ( 1+л /)” 1«

« 5(л) (1 - л / + л •/ ). Из сравнения полученного результата с (2П) при заданных 5(л) и i = d, следует, что S t(0)>Sd(0) для любого л (рис.5).