Рис. 35

23.2.Относительное изменение платежей

Ктаким потокам платежей можно причислить, например, последова­ тельности платежей, у которых соседние платежи отличаются друг от дру­ га в q раз (рис. 36).

Наращенная сумма этого потока вычисляется по формуле

5=/1-(1 +/)" = R £-- —

9 - 0 + 0

Для р-срочной ренты с постоянным темпом роста q платежей и на­ числением сложных процентов один раз в году (т = 1) будем иметь послс-

Современная величина такой последовательности платежей может быть получена дисконтированием каждого платежа на начало потока

RpУР, Rp -q- S<Up\ . , Rp • iP’PW ri

идальнейшим их суммированием как членов геометрической прогрессии,

аименно

При этом наращенная сумма рассматриваемого потока платежей оп­ ределяется по формуле

J’ P _ 0 + 0 "

5 = Л -0 + 0" = Rp -

q - (\ +i)Up

Если при базовом размере платежа RQ изменения платежей в потоке начинаются с первого платежа, т.е.

Д0 -*, До*<72, Ло-*1, Ro • я" >то ПРИ разовом начислении про­ центов в году (ш = 1) современная величина и наращенная сумма потока платежей могут быть вычислены по формулам

Если годовой темп прироста а платежей в потоке отличен от нуля, т.е. изменение платежей происходит в q = 1 + а раз, то значения современ­ ной величины потока платежей и его наращенной суммы вычисляются со­ ответственно по формулам

2.3.3. Разовые изменения платежей в потоке

Для потока с разовыми изменениями платежей Rt наращенная сумма

и современная величина потока определяются путем прямого счета, на­

пример, при начислении сложных процентов по процентной ставке / один раз в году (т = 1):

периодов на f-м этапе (t = 1, 2 , . . . , к) член ренты R, постоянен и сложные

проценты начисляются один раз в году (т = 1) по процентной ставке / в течение п, периодов (рис. 37), то наращенная сумма и современная вели­ чина такого потока платежей вычисляются по формулам

где sji:j и а , - коэффициенты наращения и приведения ренты, которые определяются согласно формулам (9Н) и (9П).

Если рента р-срочная, то s%:i и аЦ.л берутся соответственно форму­ лам (ЮН) и (10П).

2.3.4.Непрерывное поступление изменяющихся платежей

Очевидно, что общая сумма поступлений непрерывного потока пла­ тежей, подчиненных некоторому закону R( = /( /) , за время п составит

с = ] /( * ) • * .

О

При этом наращенная сумма потока платежей при непрерывном начисле­ нии процентов по силе роста 8 будет равна

О

а современная величина такого потока платежей определяется по формуле

п

A = \ m - e - S t -clt.

о

Рассмотрим ноток платежей, линейно изменяющихся во времени, с начальной величиной Я0 и приростом а, т.с. Rt = Я0 + a-t. Современная величина такого потока может быть вычислена следующим образом

где а™#- коэффициент приведения непрерывного потока с постоянными платежами и непрерывным начислением процентов по силе роста 5.

Для рассматриваемого потока платежей процентная ставка 8 может быть определена при всех заданных остальных параметрах потока по ме­ тоду Ньютона с использованием функций

Если рассматриваются экспоненциально меняющиеся платежи в по­ токе, т.с. Rt = RQ-er t , с начальной величиной платежа R0 и постоянным

темпом роста у, то современная величина такого потока может быть найде­ на следующим образом:

Непрерывная процентная 8 при наличии остальных данных о потоке рас- считывается по итеративной процедуре метода Ньютона:

ed 4 > - - A . . ( r . 4 y l

*0

_1_ начиная с *§ = — + у ----— и с использованием функций

/1+1

f X S > = A - n .eir-*>n

*0

Задачи

1.(Абсолютное изменение платежей). Пятилетний контракт преду­ сматривает, что, после первого платежа 5000 д.е., производимого в конце первого года, последующие платежи ежегодно увеличиваются на 1000 д.с. При этом на платежи начисляются сложные проценты по годовой про­ центной ставке 0,08. Определите наращенную сумму потока платежей дан­ ного контракта, а также его современную величину.

2.(Абсолютное изменение платежей). По условиям контракта в те­ чение 3-х лет в конце каждого полугодия выплачиваемые платежи увели­

чиваются на 1000 д.с., при этом величина первого платежа равна 1000 д.с., и в течение всего срока контракта начисляются сложные проценты по го­ довой процентной ставке 0,1. Определите наращенную сумму потока пла­ тежей, а также его современную величину.

3. (Размер платежей в потоке). По контракту 200000 д.с. текущего долга погашается в течение 6-ти лет потоком ежегодно возрастающих на величину первой выплаты платежей с начислением в конце каждого года на остаток долга сложных процентов по годовой процентной ставке 0,05. Определите размеры платежей в потоке.

4. (Относительное изменение платежей в потоке). Контракт преду­ сматривает погашение задолжности в конце каждого года в течение 8-ми лет потоком возрастающих на 10% платежей с первой выплатой в 18000 д.е. и ежегодным начислением сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06 на сумму оставшегося долга. Найдите современную величину и наращенную сумму такого потока платежей.

5. (Относительное изменение платежей в потоке). В условиях задачи 4 платежи осуществляются в конце каждого квартала и первый платеж ра­ вен 4500 д.е.

6. (Разовые изменения платежей). Проект кредитуется в четыре эта­ па: сначала предоставляется 30000 д.е., затем через полгода - 70000 д.е., еще через год - 150000 д.е. ,после чего еще через 1,5 года предоставляется 200000 д.е. Определите величину задолжности по кредиту через 4 года с момента предоставления первой суммы кредита, а также современную ве­ личину кредита на момент предоставления первой суммы кредита, если кредит дается под сложные проценты по годовой процентной ставке 0,09.

7. (Разовые изменения платежей). Четырехгодичный контракт преду­ сматривает взносы в 2 этапа с начислением на них сложных процентов по годовой процентной ставке 0,08 на первом этапе в течение первых 1,5 лет и по годовой процентной ставке 0,1 на втором этапе в последующие 2,5 года. На первом этапе взносы по 5000 д.е. производятся в конце каждого полу­ годия. На втором этапе взносы по 8000 д.е. производятся в конце каждого квартала. Определите наращенную сумму потока платежей.

8.(Непрерывный поток платежей). Предполагается, что непрерывно

иравномерно поступающий в течение 20-ти лет ежегодный доход от экс­ плуатации нефтяного месторождения составит 10 млн. д.е. Оцените нара­ щенную сумму такого потока платежей, если на них ежегодно начисляют­ ся сложные проценты по годовой процентной ставке 0,1.

9.(Непрерывный поток платежей). В условиях задачи 8 на платежи

непрерывно начисляются проценты по силе роста 0,1.

10. (Непрерывный поток платежей). Определите срок, за который наращенная сумма станет в 6 раз больше годовых взносов, если взносы по­ ступают непрерывно и равномерно и на них непрерывно начисляются про­ центы по силе роста 0,06.

11. (Процентная ставка потока платежей). Выразите через силу рос доходность инвестиций в 1 млн. д.е., если ежегодная отдача от Них в 150000 д.е. поступает равномерно в течение 10-ти лет.

12. (Процентная ставка потока платежей). Отдача от 1 млн. Д * е . , ин­ вестированных в проект, составляет в первый год 300000 д.е. В последую­ щие 5 лет отдача ежегодно возрастает на 10000 д.е. Определите доходность инвестиций, измеренную в виде непрерывной процентной ставки.

13. (Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей). Плани­ руется с момента t = 0 ежегодно увеличивать выпуск продукции на 200000 д.е. в течение 3-х лет. В начальный момент t = 0 выпуск продукции оцени­ вается в 5 млн. д.е. Определите суммарный стоимостной объем выпуска продукции с непрерывно начисляемыми процентами по силе роста 0,08.