1.3.3. Наращение по учетной ставке Мы уже отмечали, что при заданных величинах суммы первоначаль­

ного долга £(0), продолжительности срока пользования долгом г= л • К и учетной ставки d можно определить величину суммы долга S(/i), которую необходимо проставить в бланке платежного обязательства, пользуясь на­ числением процентов по учетной ставке d.

Если начисление сложных процентов осуществляют один раз в году,

- формулу наращенной суммы при начислении сложных процентов по учетной ставке d.

Если начисление сложных процентов осуществляют т раз в году, то, разрешая выражения (6П) относительно 5(и), получают

- формулу наращенной суммы при начислении сложных процентов т раз в году по номинальной учетной ставке f Отметим, что начисление сложных процентов по учетной ставке называют наращением суммы долга сложны­ ми антисипативными процентами.

1.3.4. Непрерывное наращение и дисконтирование

При непрерывном наращении суммы долга сложными процентами процентную ставку называют силой роста и обозначают через 8. При не­ прерывном дисконтировании суммы долга сложными процентами учетную ставку обозначают через у и называют силой дисконта.

Сила роста (дисконта) характеризует прирост (положительной или отрицательной) суммы долга за бесконечно малый промежуток времени и может быть как постоянной, так и изменяющейся во времени величиной.

Уменьшение временных промежутков между моментами начисления процентов ведет к увеличению числа периодов начисления процентов в

чить непрерывное начисление процентов от дискретного.

Тогда формула наращенной суммы при непрерывном начислении

Таким образом, сила роста 5 представляет собой номинальную про­ центную ставкуj при т —> «>.

Формулу приведенной величины долга при непрерывном дисконти­ ровании суммы 5(и) по постоянной силе роста (что соответствует матема­ тическому дисконтированию) можно получить, решив уравнение (7Н) от­

Если приведенная величина долга за т-п периодов до момента его выплаты получается дисконтированием суммы долга 5(и) сложными про­ центами по учетной ставке/ по формуле (6П), то при т —>«> имеем

приводит к тому же результату, что и с помощью постоянной силы роста. Это связано с тем, что и та и другая процентные ставки применяются на

бесконечно малом промежутке времени и е~^п = е~ ^п. Поэтому формула наращенной суммы при непрерывном начислении процентов по постоян­ ной силе дисконта

При моделировании процессов наращения денежных сумм и инве­ стиций, доходность которых определяется процессом освоения мощностей или истощением ресурсов, используется переменная во времени величина силы роста $ =/ ( /) . В этом случае формулы наращенной суммы долга, а также приведенной величины долга принимают соответственно следую­ щий вид

S (n ) = S ( p ) - e $ * dl и S ( 0 ) = S ( n ) - e ~ % * a

Если сила роста изменяется дискретно во времени, принимая значе­ ние $ на интервале nt начисления процентов /-го этапа срока долга, то к концу первого этапа сумма вклада £(0) станет равной

5(и|) = 5(0)-е^ " ',

к концу второго этапа -

S{n2) = S{п,)-е^'"2 =S(0 )-е<?‘"| +<5"'2 ит.д.

В конце срока долга величина наращенной суммы станет равной

S(n) = S (0) - exp^Z 4 - n^ .

О

а величину суммы наращенного долга находят по формуле

е " " - ! 4

S(«) = S(0).exp

В этом случае характер изменения множителя наращения q имеет вид, представленный на рис. 15

1.3.5. Срок долга. Величина процентной ставки

При разработке финансовых контрактов и сравнении их эффективно­ сти возникает задача установить срок долга (числа периодов начисления процентов) и величину процентной ставки.

В зависимости от вида начисляемых процентов или их дисконтиро­ вания различают следующие формулы для нахождения величины срока долга и процентной (учетной) ставки.

При начислении сложных процентов один раз в году из (ЗН) следует

При начислении сложных процентов т раз в году по номинальной процентной ставкеj из (4Н) следует

Задачи

1.(Наращенный долг). В банк на сберегательный счет положены 2000 д.е. Банк начисляет сложные проценты по годовой процентной ставке 0,08. Выведите формулу величины вклада через п лет и найдите сумму вклада через 5 лет.

2.(Наращенный долг). В условиях задачи 1 через 6 лет годовая про­ центная ставка снижена до 0,06. Найдите величину вклада после того, как прошло еще 6 лет.

3.(Наращенный долг). Кредит в размере 30000 д.е. выдан на срок 3 года и 160 дней при начислении сложных процентов по годовой процент­ ной ставке 0,065 с временной базой 365 дней. Определите величину долга

кконцу срока.

4.(Наращенный долг). Сэм отметил свое 60-летие и получил от фир­ мы, в которой он работает, чек на 1000 д.е. Эти деньги он решил использо­ вать, начиная с 70 летнего возраста. Для этого он положил указанную сум­ му денег на счет в банке под годовую процентную ставку 0,10 для начис­ ления сложных процентов на 10 лет. Определите величину процентных денег, которые получит Сэм через 10 лет.

5.(Наращенный долг). В условиях задачи 4 определите величину процентов, которые можно получить в 75-летнем возрасте при годовой процентной ставке 0,08.

6.(Переменная процентная ставка). Годовая процентная ставка на­ числения сложных процентов за кредит установлена на уровне 0,08 плюс надбавка величиной 0,5% от суммы ссуды в первые два года и 0,8% в сле­ дующие два года. Определите величину множителя наращения к концу срока кредита.

7.(Номинальная процентная ставка). На счет в банке сделан вклад 5000 д.е. Банк начисляет на вклад сложные проценты по годовой процент­ ной ставке 0,08. Если проценты начисляют ежеквартально, то какова ста­ нет величина вклада через 3 года, а также величина номинальной процент­ ной ставки?

8.(Номинальная процентная ставка). 4000 д.е. положены на депозит.

Найдите величину вклада через 1 год и через 4 года при ежемесячном на­ числении сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 0,06.

9. (Номинальная процентная ставка). На ссуду 10000 д.е. начисляют­ ся сложные проценты в конце каждого квартала по годовой номинальной процентной ставке 0,05. Определите величину долга через 5 и 10 лет.

10. (Номинальная процентная ставка). В условиях задачи 9 срок ссу­ ды 10 лет, проценты начисляются: а) в конце каждого полугодия по номи-

21.(Эффективная ставка). В условиях задачи 20 кредит выдается под сложные проценты на 2 года.

22.(Эффективная ставка). Вексель учтен простыми дисконтами по годовой учетной ставке 0,1 за 160 дней до его погашения. При выполнении операции учета с владельца векселя удержали комиссионные в размере 0,5%. Определите доходность операции в виде эффективной процентной ставки (К = 360).

23.(Непрерывное начисление процентов). На первоначальную сумму долга 1000000 д.е. непрерывно начисляются проценты по силе роста 0,075

втечение 10 лет. Определите наращенную сумму.

24.(Сила роста). Определите величину силы роста при начислении

25.(Сила роста). Вклад, на который в течение 2-х лет непрерывно начислялись сложные проценты по силе роста d, а в последующие 4 года - по силе роста 2d, удвоился. Найдите величину силы роста d.

26.(Переменная сила роста). На первоначальный вклад 2000 д.е. в течение 3-х лет непрерывно начисляли сложные проценты по силе роста 0,06. Затем еще в течение 4-х лет - по силе роста 0,08. Найдите величину вклада через 7 лет.

27.(Срок удвоения). Найдите срок удвоения вклада при непрерыв­ ном начислении на него процентов по силе роста 0,08. Определите срок

утроения того же вклада.

28. (Сила роста и годовая процентная ставка). Выразите в форме

у = а-ек'1 следующие функции: у = 2*; у - 1000-2^3; у = 5*(1,04/;

^= 6-10®-(1,05)“'

29.(Современная величина). Компания по переработке древесины владеет лесоматериалом "на корню", стоимость которого в / году оценива­

ется по формуле V(t) = 2-(1 + 0,3/). Годовая процентная ставка в рассматри­ ваемый период времени при начислении сложных процентов равна 0,1. Определите современную стоимость лесоматериала, если он обрабатывает­ ся и продается через 1 год, 6, 7, и 8 лет. Дайте рекомендации по использо­ ванию лесного массива.

30.(Сила роста и дискретная процентная ставка). Инвестиционная компания купила гостиничные апартаменты за 5,5 млн. д.е., а спустя 4 года продала их за 9 млн. д.с. Найдите величину силы роста на инвестирован­ ные деньги и ежегодный прирост капитала в процентах.

31.(Амортизация). Два года назад фирма купила машину за 6000 д.е., современная оценка которой 4500 д.е. Предполагая, что стоимость машины амортизируется по экспоненциальному закону, определите стои­ мость машины через последующие 3 года от сегодняшнего дня.

32.(Годовая сила роста). В период с 1985 по 1990 г. прибыль компа­ нии увеличивалась ежегодно в среднем на 12%. В 1990 году она составила 5200000 д.е. Предполагая, что годовой прирост постоянен, найдите при­ быль в 1995 году.

33.(Непрерывное изменение). Число служащих N компании зависит

от количества выпускаемой этой компанией продукции х по закону

N = ЮО-е0,02л Средняя зарплата составляет’6 д.е. в час при 35-часовой рабочей неделе. Компания продает продукцию по 2000 д.е. за единицу продукции. Изобразите график еженедельных затрат на зарплату и дохода как функции JC, если 10 < х < 130. Укажите интервал изменения величины JC,

вкотором компания может иметь прибыль.

34.(Непрерывное изменение). Две фирмы имеют годовые обороты, соответственно, 1 млн. д.е. и 2 млн. д.е. Оборот первой фирмы растет еже­ месячно на 2%, а оборот второй - уменьшается на 1%. Определите, когда годовые обороты фирм станут одинаковыми.

35.(Дискретная сила роста). На некоторую сумму начисляются не­ прерывные проценты по силе роста, изменяющейся дискретно во времени,

аименно, первые два года ее величина равна 0,08, а следующие три года - 0,09, далее в течение 5 лет - 0,1. Определите множитель наращения.

36.(Линейное изменение силы роста). Начальное значение силы рос­ та равно 0,1, а годовой прирост силы роста составляет 0,025. Определите множитель наращения для 5-летнего срока.

37.(Степенное изменение силы роста). Предполагается, что сила роста с начальным уровнем 0,09 ежегодно увеличивается на 10%. Опреде­ лите величину множителя наращения для 5-летнего срока.

38.(Степенное изменение силы роста). Определите величину на­ чального значения силы роста, если сумма долга удваивается за 5 лет, а го­ довой темп изменения (роста) силы роста установлен на уровне 1,1.

39.(Срок долга). Определите срок долга в годах, за который сумма 8000 д.е. выросла до 10000 д.е. при начислении сложных процентов по процентной ставке 0,07: а) один раз в году; в) ежеквартально; с) ежемесяч­ но.

40.(Срок удвоения). Определите срок удвоения суммы долга при на­ числении непрерывных процентов по силе роста, изменяющейся с посто­ янной величиной в год на 10% и начальной величиной 0,1.

41.(Процентная ставка). Сбербанк выпускает сертификаты номина­ лом 1000 д.е. Выкупная цена зависит от срока хранения сертификата. При пятилетием сроке выплачивается 1500 д.е., при десятилетнем - 2500 д.е. Определите, при каких величинах годовых процентных ставок при начис­ лении сложных процентов возможны такие выплаты.