Замечание.

изменений. Поэтому параметры заменяющей ренты определяют из уравне­ ния, базирующегося на принципе финансовой эквивалентности современ­ ных величин, участвующих в замене рент.

В случае замены ренты с современной величиной А\ = R\ •я^[,11.у1//И|

при заданной величине срока /?о и остальных параметрах заменяющей

ренты.

Величина срока заменяющей ренты рассчитывается по формуле

при заданной величине члена R и остальных параметрах заменяющей рен* ты.

Из рассмотренного случая следуют различные варианты. 1) При t = 0 замена одной ренты на другую без отсрочки.

ной А] на разовый платеж и т.д.

Отмстим, что реальный результат при определении срока заменяю­ щей ренты возможен, когда в числителе под знаком логарифма положи­ тельная величина.

2.4.3. Финансовое страхование

При страховании, как и при любой финансовой сделке, реализуется принцип финансовой эквивалентности обязательств участников сделки:

страхователя и страховщика. Страхователь, выплачивая страховой взнос R(n надеется получит!» страховую сумму Rc от страховщика при на­ ступлении страхового события, оговоренного в контракте. Так как о на­ ступлении страхового события можно говорить с некоторой вероятностью /;, то величины страхового взноса и страховой суммы связаны выражением Re = Кс • р (без учета расходов на страхование и дохода страховщика).

Если предполагаются неразовыс страховые взносы и страховые сум­ мы, то мы имеем дело с регулярными условными потоками платежей - ан­ нуитетами. Рассмотрим примеры решения одной из основных задач стра­ хования определение годовой! тарифной ставки (годового страхового взноса) страхования.

Страхование жизни. Страховым событием является смерть страхо­ вателя. Пусть вероятность умерен» в /-м году. Страхователь выплачива­

ет страховой взнос R(t страховщику в начале года (рис. 42).

Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то, с учетом временной ценности денег, страхователь выплатит страховщику взнос если на втором году, то - сумму взносов R(t + R(i • v=Re(\+ i)\

если на третьем году, то - сумму взносов Re + Re • И- R(t • 1? = RH(1+ И- &)\

на /-м году сумма выплачиваемых взносов составит Ra{\+ И* 1?+...+ ^ !) и т.д.

страховщику до наступления страхового события можно рассматривать как возможные значения некоторой случайной величины Ав, принимаемые с вероятностью наступления страхового события pt (t = 1, 2 , . . . , и). Ма­ тематическое ожидание (среднее значение) случайной величины Ав

"современная величина суммы страховых взносов" - определяется по фор­ муле

Очевидно, что и современную величину страховой суммы, выплачи­ ваемой страховщиком страхователю при наступлении страхового события, можно рассматривать как возможное значение некоторой случайной вели­ чины Ас . Найдем математическое ожидание случайной величины Ас.

Пусть страховая сумма выплачивается страховщиком страхователю в конце года, в котором произошло страховое событие. Тогда, если страхо­ вое событие произойдет в первом году страхования, современная величина страховой суммы равна Rc >к Если страховое событие произойдет во втором году страхования, то современная величина страховой суммы равна Rc • ^ и т.д.

Так как возможные значения Rc • tf, (t = 1, 2, ..., п), случайной вели­ чины Ас принимаются с вероятностью наступления страхового события pt , то математическое ожидание случайной величины Ас - "современная величина страховой суммы" - определяется по формуле

Используя принцип финансовой эквивалентности обязательств стра­ хователя и страховщика, т.с. М(Ав) = М(АС), и заданное значение страхо­

Величина ежегодного страхового взноса Re будет годовой тарифной став­

кой страхования.

Имущественное страхование. В этом случае полагают, что вероят­ ность р наступления страхового события постоянна. Тогда математическое ожидание случайной величины Ав - "современная величина суммы стра­ ховых взносов", которую может получить страховщик от страхователя, оп­

оценка страховой суммы", которую может получить страхователь от стра­

ховщика, рассчитывается по формуле

п

М(АС)= Rc ' Р'Ш ^ ~ Rc'P ' an:i ■

/=1 Из финансовой эквивалентности обязательств страхователя и стра­

ховщика, т.с. М(Ад)= М(АС), и заданной величины страховой суммы Rc

находим выражение для определения годовой тарифной ставки страхова­ ния, а именно

Страхование на дожитие связано со следующей ситуацией. Человек в возрасте л* лет желает получить от страховой компании сумму Rc при достижении им 60-ти лет. Очевидно, что современная величина этой сум­ мы равна Rc • i?°~x, а ее математическое ожидание исчисляется по форму­

ле

M(Ac)= Rc - f ° - x -P(X,60).

где Р(Х'Щ " вероятность дожить до 60-ти лет человеку в возрасте JC

лет определяется отношением числа доживших до 60-ти лет (/6о) к числу

доживших до х лет ( 1Х) по таблице смертности.

Величина М(АС) называется нетто-ставкой на дожитие, т.е.

Re = М(АС)~ это взнос, который необходимо сделать в возрасте х лет с

первого типа. Это числа живущих, которые рассчитываются для процент­

довательность современных величин выплат страховых сумм, начиная с возраста 60 лет до конца жизни (пожизненная пенсия), т.е.

Rc * Rc • > Rc • , где ц - возраст, в котором выплачивается последняя страховая сумма. Тогда математическое ожидание случайной величины Ас - "современная величина всех страховых сумм" определяется по формуле

где a p_x:i - коэффициент приведения с учетом вероятности выплаты каж­

- достижение адекватности схемы погашения кредита условиям фи­ нансового контракта (схемы 1 -10);

- оценивание стоимости кредита на любой момент его существова­ ния (схемы 1 - 10);

- определение эффективности финансовый операции для кредитора

Существуют схемы погашения кредитов, в которых одним из усло­ вий является создание должником погасительного фонда на специальном счёте в банке (схемы 1-4). Составляющие срочных уплат распределяются при этом следующим образом. Сумма;:j?(f), связанная с погашением части кредита в конце каждого периода t и называемая погаситель­ ным платежом, поступает в погасительный фонд. Остальная часть сроч­ ной уплаты, соответствующая процентам /(f) за пользование кредитом, начисленным по годовой процентной ставке g, может в конце каждого пе­ риода либа выплачиваться кредитору в размере 5(0)-g (так как весь долг кредитор получает в конце срока долга), либо направляться в погаситель­ ный фонд.

Иногда в контракте предусматривается льготный период, равный L лет, в течение которого должнику предоставляется возможность не произ­ водить погасительных платежей. При этом проценты за пользование кре­ дитом выплачиваются либо регулярно в течение всего срока долга, либо после окончания льготного периода, но уже с учётом того, что величина

процентного долга к этому моменту стала равной 5(0) • (1 + g)L

В схему погашения кредита постоянными срочными уплатами в по­ гасительный фонд вписывается также процедура амортизации объекта. В этом случае к концу срока жизни объекта на счету амортизационного фонда должна оказаться первоначальная стоимость объекта, равная амор­ тизационным отчислениям с начисленными на них процентами плюс оста­ точная стоимость объекта.

В случае, когда погасительные платежи и проценты за пользо­

вание кредитом 5(0) в течение каждого года, выплачиваются кредитору. Необходимо сформировать поток постоянных срочных уплат от

должника, производимых в конце каждого года.

Необходимо сформировать поток срочных уплат от должника, изме­ няющихся по указанному закону.

Схема 8. В конце каждого года / (г - 1, 2 ,.. , п) должник выпла­ чивает кредитору проценты /(/), начисляемые за пользование кредитом в течение этого года по годовой процентной ставке g, и погасительный пла­ тёж R(t).

Необходимо сформировать поток срочных уплат от должника, соот­ ветствующих последовательности У(1), У(2 ) , .. . , У(//).

Схема 9. Проценты, начисляемые в виде простых процентов по го­ довой процентной ставке g в течение всего срока кредита - и, вместе с суммой первоначального кредита 5(0) образуют сумму наращенного дол­ га 5(0М Ugn).

Необходимо сформировать поток ежемесячных одинаковых срочных уплат на протяжении всего срока кредита так, чтобы процентные платежи подчинялись "правилу 78".

Схема 10. Срок кредита, выданного за п лет, разделён на два этапа так, что продолжительность первого этапа равна т лет. Обслуживание кредита осуществляется срочными уплатами р раз в году. На первом эта­ пе расходы должника изменяются с постоянным темпом а, то есть

У(/) = У(1) а*_| (г = 1,2 , . . . , тр), а на втором - остаются постоянными, то

есть Y(t)=Y(\)-a",p~l (/ = тр + 1,. . . , пр).

Необходимо сформировать поток заданных срочных уплат от долж­ ника с указанием погасительных и процентных платежей.

Схема II. Ежегодные проценты /(/) за пользование кредитом 5(0), данного под процентную ставку g на п лет, выплачиваются кредитору вместе с погасительными платежами в виде равных срочных уплат Y(t). Процентная ставка на рынке капитала равна / (/ > g).

Оцените потери кредитора.

Схема 12. В условиях схемы 11 предусматривается льготный пери­ од, когда в течение первых L лет выплачиваются только процентные деньги.

Определите потери кредитора.

Схема 13. В условиях схемы 11 предусматривается льготный пери­ од, когда в течение первых L лет должник не производит никаких выплат, а затем в оставшиеся (я -L) лет гасит кредит равными срочными уплатами.

Определите потери кредитора.

2.4.5.Ценные бумаги с фиксированным текущим доходом:

-облигации, сертификаты, вексели, другие долговые обязательства, а

также прит п^ирош т ы е Текущий докод т этим бумагам пре,- ставляег собой поток постоянных (ш,„ переменных) нлотежен - а н н у ^ г - в виде процентов или дивидендов. У

Владелец облигации предоставляет заём её эмитенту. Эмитент ин­ формирует о возможности досрочного выкупа облигации, о годовой норме охо пости о лигации - g, частоте выплат процентов в году - р, сроке до даты выкупа облигации - л, выкупной цене облигации - S(n) или о правиле сё определения, если она отличается от номинальной цены - S.

Оценка ценных бумаг по степени надёжности получения обещаемого дохода называется рейтингом. Колебания спроса на облигации влечёт из­ менение покупной цены - 5(0) на фондовом рынке. Универсальным изме­ рителем покупной цены облигаций с различными номинальными ценами

является курс облигаций Sk(0) = '^ 2 1 .iоо.

S

Вычисление как покупной цены облигации, так и её доходности осуществляется из уравнения финансовой эквивалентности, которое ус­ танавливает соответствие между покупной ценой и всеми поступлениями от облигации, дисконтированными сложными процентами по процентной

ставке на момент покупки облигации.

_____ Таблица 13 Уравнение финансовой эквивалентности:

а) без учёта налога; б) с учётом налогов на купонный доход Цр

на прирост капитала v k

Бессрочные

личины равных платежей, если начало оплаты продукции перенесено на полгода после подписания контракта.

9. ( Изменение условий потоков платежей). В условиях задачи 8 на­ чало оплаты отложено на 2 года.

10. (Изменение условий потоков платежей). В условиях задачи 8 мри величине ежеквартальных платежей, указанных в контракте, определите продолжительность потока платежей при переносе начала потока платежей на 3 года.

11. (Изменение условий потоков платежей). В условиях задачи 8 от­ срочка потока платежей сопровождается сокращением срока потока до 4-х лет. Определите величину ежеквартального платежа в новых условиях.

12. (Изменение условий потоков платежей). В условиях задачи 8 из­ меняется число платежей в году, а именно они осуществляются каждые полгода.

13. (Изменение условий потоков платежей). Поток ежеквартальных платежей с ежегодной выплатой 2000 д.е. в течение 5-ти лет и начислением сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06 заменяется на по­ ток полугодовых платежей в течение 8-ми лет с теми же условиями начис­ ления процентов. Определите величину платежей в новом потоке.

14. (Консолидация потоков). Три потока платежей с выплатой годо­ вых платежей соответственно 1000 д.е., 1500 д.е. и 800 д.е. в конце каждо­ го года и начислением сложных процентов по годовым процентным став­ кам соответственно 0,07, 0,06 и 0,05 в течение соответственно 5-ти, 6-ми и 7-ми лет заменяются потоком платежей в течение 6-тн лет и начислением сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06. Определите вели­ чину годового платежа, заменяющего потока.

15. (Консолидация потоков). Консолидируются 3 потока платежей с одинаковыми годовыми величинами платежей в 6000 д.е. с начислением сложных процентов по одинаковым годовым процентным ставкам 0,08 по разным срокам: 7; 4 и 6 лет. Ежеквартальные платежи консолидированного потока равны 5000 д.е. при той же годовой процентной ставке. Определите число членов консолидированного потока платежей.

16. (Консолидация потоков). В условиях задачи 15 годовые платежи консолидируемых потоков равны 10000 д.е., 20000 д.е. и 15000 д.е.

17. (Консолидация потоков). В условиях задачи 16 годовой платеж консолидированного потока равен 20000 д.е.

18. Сравните курсы трёх облигаций* покупные и номинальные цены

которых в денежных единицах равны соответственно S 1(0) = 940,

s ' =1000, S 2(0) = 9,4, S2 = 10, S3(0) = 91,5, S3 = 100.

Приложение

Библиографический список

1.Agbadudu А.В., Mathematical methods in Business and economics. Lagos university press, 1987.

2.Karl Bosch. Finanzmatematik. R.Oldenburg Verlag: Munchen, Wien.

1992.

3.Балабанов И.Т. Финансовый менеджмент. Учебник. М.: Финансы

истатистика, 1994.

4.Булкина М.К. Деньги. Банки. Валюта.: Учебное пособие. М.: АСГДИС", 1994.

5.1.V.J.Galama, J. dc Koning, J. Smit, A.W.Blrstckcr. Wiskunde voor het hoger economisch onderwijs. Educabock, 1987.

6.Ron Jones, John Mackay, Business Mathematics and Information Technology. Longmann Group, UK Ltd, 1988.

7.Кочович Елена. Финансовая математика. Теория и практика фи­ нансово-банковских расчетов. М.: Финансы и статистика, 1994.

8.Мслкумов Я. С. , Теоретическое и практическое пособие по фи­ нансовым вычислениям. М.: ИНФРА-М, 1996.

9.Псрвозванский А.А., Псрвозванская Т.Н. Финансовый рынок: Расчет и риск, М.: АО Инфра-М, 1994.

10.Черкасов В.Е. Практическое руководство по финансовоэкономическим расчетам. М.: Метаинформ, 1995.

11.Чстыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов.

М.: Дело Лтд, 1992.

12. Чуйко А. С., Шершнев В. Г. Математические основы финан­ сового обслуживания. Учебное пособие. Москва, 1995.