- •МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •Глава 1.1. Основные понятия и математический аппарат
- •1.1.1. Проценты и процентная ставка
- •1.1.3. Числовые последовательности. Прогрессии. Степенные ряды
- •1.2.1. Наращение по процентной ставке
- •Переменная процентная ставка
- •Реинвестирование вкладов
- •1.23. Наращение по учетной ставке
- •1.2.4. Срок долга. Величина процентной ставки
- •Глава 1.3. Сложные проценты
- •1.3.1. Наращение по процентной ставке
- •1.3.4. Непрерывное наращение и дисконтирование
- •1.3.5. Срок долга. Величина процентной ставки
- •1.4.1. Эффективность различных ставок
- •Замечания.
- •Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами
- •2.2.2. Современная величина
- •Замечания.
- •Рента с начислением смешанных процентов
- •Глава 23. Потоки с переменными платежами
- •23.2. Относительное изменение платежей
- •Глава 2.4. Сравнительный анализ. Приложения
- •Замечание.
- •2.4.2. Безубыточное изменение потоков платежей
- •Серия "Российская Экономическая Академия им. Г.В.Плеханова"
- •Серия "Индустрия гостеприимства"
- •Серия "Учебники для экономических и неэкономических ВУЗов"
- •Серия "Прогрессивная экономическая мысль Европы"
- •По вопросам приобретения книг и за дополнительной информацией просим обращаться:
42. (Учетная ставка). Вексель учитывается за два года до погашения. Определите величину годовой учетной ставки при дисконтировании сум мы, указанной в векселе, сложными процентами, если владелец векселя получит 90% суммы векселя.
Глава 1.4. Сравнительный анализ
1.4.1. Эффективность различных ставок
Эффективность процессов наращения, описываемых формулами 1Н, 2Н, ЗН, 4Н, 5Н, 6Н, 7Н, определяется множителем наращения в каждой из этих формул. Для оценки множителей наращения разложим их в степен ные ряды до третьего члена включительно (табл.6).
При i = j = f = b = d величины множителей наращения отличаются друг от друга третьими слагаемыми и соотносятся между собой в зависи
мости от величины п следующим образом: |
|
||||
|
/ |
.\т-п |
|
/ |
|
п< 1: (1 + 0" <l + /w < ll+ -jM |
<еЛ'< [1 -^ 1 |
<(\-n-d)~' <(1 -</)■"; |
|||
и = 1: (1 + 0 = 1+ 1‘<^1+-£) |
|
< (l-rf)-1 <(1 |
|||
п> 1: 1+ л •/<(! + /) |
<| 1+ — |
<е5п < П - £ | |
< (1-<0 _" <(\-n-d) -1 |
||
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
Номер |
Множитель |
Первые три члена разложения |
|||
формулы |
наращения |
множителя наращения |
|||
1Н |
|
1+П-/ |
|
1+ ni +0 |
|
ЗН |
|
(1+ /)" |
|
1+ n i + ( 1/2) • п ■(м-1) • /2 |
|
4Н |
(1+ у //я Г " |
1+ n-j +( 1/2) • п ■(n -1/m) • / |
|||
7Н |
|
И " |
|
1+и-<5+ ( 1/2)- я 2- & |
|
6Н |
(1 |
|
|
1 +n-f+(\l2)-n-(n+\lm)- / 2 |
|
5Н |
|
(1-</)“" |
|
1+n-d+(\/2)-n-(n+\)- d2 |
|
2Н |
|
(1-nd)~' |
1+n d+ |
п2 •d2 |
|
Зависимости наращенной суммы долга от его срока при различных видах ставок, приведенные на рис. 16, позволяют оценить срок долга по его величине и обратно, величину наращенной суммы от срока долга при выборе вида ставки.
Из формул наращенных сумм следует, что недопустимы соотноше-
f
ния типа: 1- и • d = О, 1- — = 0 или 1 - d = 0, т.к. при этом приходим к
т
абсурдным результатам.
О |
1 |
n=\/d |
п |
|
Рис. 16 |
|
|
Увеличение суммы первоначального долга в L раз соответствует то му, что множитель наращения должен равняться величине L, т.е.
/ |
лт-я |
/ |
|
1+ л - 1 = (1 + 0 я =( 1l+ ^ J |
=eSn =( 1L— J |
=(1 - d y n =(1-W .d)4 = L . |
|
Отсюда число лет, необходимое для увеличения суммы первоначального долга в L раз для каждого вида ставки, может быть определено по формуле
n = ------1 -1 |
, n = ---------- |
InL , |
n = |
------------------- In L |
, |
n = -----In I , |
|
i |
ln(l + /) |
|
m • ln(l + j / m) |
S |
|||
n = ------------------- |
InL |
, |
/I = ------------- |
InL |
, |
n = |
------L - l . |
|
m• ln(l- f |
I m) |
|
ln(l - |
d) |
|
L - d |
Для исчисления времени удвоения суммы первоначального долга необхо димо взять L = 2.
Эффективность процессов дисконтирования, описываемых форму лами 1П, 2П, ЗП, 4П, 5П, 6П, 7П, определяется величиной дисконтного
множителя в этих формулах. Для оценки дисконтных множителей разло жим их в степенные ряды до третьего члена включительно (с. табл.7).
Номер
формулы
2П
5П
6П
7П
4П
ЗП
1П
Дисконтный |
|
Таблица 7 |
Первые три члена разложения |
||
множитель |
|
дисконтного множителя |
1-/!•</ |
1- |
Yi'd+ 0 |
(1-rf)" |
l - n d + (\/2)-n-(.n-\)-d2 |
|
(1- f / m ) m'n |
1- |
/!•/+ (1/2) • п • (л -1/m) • / 2 |
e-Sn |
1 -n-S+{M2)- п2 - # |
|
|
||
(1+ j / /и)~m’,, |
1- |
n-j + (1/2) • л • (и+1/m) • у2 |
(i + o - " |
1- |
л-/ + (1/2) • л • (л+1) -/2 |
(1+ И-0 -1 |
1—ti'i + л2 -/2 |
|
При d = f = 8 = j = i величины дисконтного множителя отличаются третьими слагаемыми, которые в зависимости от изменения величины п соотносятся так же, как и третьи члены разложения множителей нараще ния. Поэтому дисконтные множители соотносятся между собой следую щим образом:
л< 1: 0 - 0 " <1-л-</<^1-£) |
<е~Л' < ф + ^ | |
<(!+«•/) 1< 0 + 0 -п; |
/2= 1: (\ —d) = \ - d < \ \ - — I |
<е <,< [ 1+ — | |
<0 + 0 1<(1 + 0 |
( ■ - S ' |
|
|
г\пн1 |
|
|
п> 1: \ - n - d < ( \ - d ) n <| 1—т)1 |
<e~Sn < [ l + ^ | |
<(И -/)“Л<(1 + я-0“1. |
Графические зависимости сумм приведенного долга от его срока для различных видов ставок показаны на рис. 17.
S(n) A
d = f = j = 8= i
S(n) - (1 - *+ i2)
S (n) - (l |
- |
8 + 5 2 /2) |
S(n)(l - |
f |
+ ( 1 - 1 / m ) ' / 2/ 2) |
$ 0 0 • (! - < * )
(1П)
(ЗП)
(4П)
(7П)
(6П)
(5П)
Ч (2П)
0 |
1 |
n=bd |
и |
|
Рис. 17 |
|
|
1.4.2. Эквивалентность ставок
Ставки различного вида, приводящие к одному и тому же финансо вому результату, называются эквивалентными ставками. При подписании контракта его участникам в общем безразлично, какая из эквивалентных ставок лежит в основе контракта. Возможные варианты использования эк вивалентных ставок связаны с безубыточным пересмотром различных кон трактов, с решением задачи сравнения эффективности финансовых опера ций при различных начальных и конечных результатах, а также сроках контрактов.
Выражения для нахождения эквивалентных ставок можно получить сравнением соответствующих множителей наращения (или дисконтных) в формулах (1Н)-(7Н) (или (1П)-(7П)), считая при этом, что их применение дает одинаковые финансовые результаты S(n) (или *5(0)) при одинаковой исходной сумме 5(0) (или 5(и)). Для удобства можно использовать табл. 8.
Например, если необходимо установить эквивалентность между процентной ставкой /с при начислении сложных процентов и силой роста
при непрерывном начислении сложных процентов, то множитель нараще ния (1 + /с.)л из формулы (ЗН) приравнивают множителю наращения е ^ п
из формулы (7Н). Тогда из (\ + ic)n = е* п следует
ic = es - \ <=> <f=ln(l + /c).
В выражение для эквивалентных ставок входит величина п = т/К, за висящая от выбора временной базы К. Поэтому при определении числа пе риодов начисления процентов необходимо учитывать величину временной базы. Например, при установлении эквивалентности процентной ставки in