Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методы вычислительной математики

..pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
3.42 Mб
Скачать

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»

М. Г. БОЯРШИНОВ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство Пермского государственного технического университета

2008

1

УДК 519.6(075.8) ББК 22.19я73

Б86

Рецензенты:

кандидат технических наук М.М. Давыдова (Институт механики сплошных сред УрО РАН);

кандидат физико-математических наук, доцент О.Ю. Сметанников (Пермский государственный технический университет)

Бояршинов, М.Г.

Б86 Методы вычислительной математики: учеб. пособие / М.Г. Бояршинов. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – 421 с.

ISBN 978-5-398-00056-6

Рассматриваются основные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (прямые и итерационные), нелинейных уравнений, построения полиномов Лагранжа и Ньютона, определения собственных чисел и векторов, численного интегрирования и дифференцирования. Строятся решения задачи Коши методами Эйлера, Рунге– Кутты, Адамса. Изучаются методы Ритца, моментов, наименьших квадратов решения обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Метод Галекина используется для построения конечно-элементных аппроксимаций решений дифференциальных уравнений в частных производных. Рассматриваются вопросы построения разрешающих соотношений с помощью метода граничных элементов. Излагаются алгоритмы решения прикладных инженерных задач с использованием вычислительной техники, описываются способы оценки погрешностей получаемых решений, возможные способы отображения результатов расчетов. По каждой рассматриваемой теме приведены задания для самостоятельной работы студентов.

Предназначено для студентов и аспирантов Пермского государственного технического университета, специалистов, занимающихся построением моделей механических систем и процессов. Может быть использовано при проведении факультативных занятий по компьютерному моделированию.

УДК 519.6(075.8) ББК 22.19я73

Издано в рамках приоритетного национального проекта «Образование» по программе Пермского государственного технического университета «Создание инновационной системы формирования профессиональных компетенций кадров и центра инновационного развития региона на базе многопрофильного технического университета»

ISBN 978-5-398-00056-6

© ГОУ ВПО «Пермский

 

государственный технический

 

университет», 2008

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ...............................................................................................................

10

1. ИСТОЧНИКИ И ПРИЧИНЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

 

МОДЕЛИ ..................................................................................................................

13

1.1. Погрешность математической модели....................................................

15

1.2. Погрешность исходных данных..............................................................

15

1.3. Погрешность численного метода ............................................................

16

1.4. Погрешность проведения расчетов на ЭВМ..........................................

17

1.4.1. Погрешности округления чисел в ЭВМ...............................................

17

1.4.2. Погрешности результатов арифметических операций.......................

18

1.4.3. «Потеря порядка» и «переполнение» при проведении

 

вычислений на ЭВМ........................................................................................

19

1.4.4. Машинная реализация вычислений .....................................................

20

Контрольные вопросы и задания....................................................................

20

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ....................

22

2.1. Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений.............

22

2.2. Полиномы Чебышёва................................................................................

27

2.3. Прямые методы решения систем линейных алгебраических

 

уравнений..........................................................................................................

32

2.3.1. Метод Гаусса..........................................................................................

32

2.3.2. Метод квадратного корня......................................................................

44

2.4. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических

 

уравнений..........................................................................................................

49

2.4.1. Метод Якоби...........................................................................................

49

2.4.2. Метод Зейделя........................................................................................

51

2.4.3. Сходимость итерационных методов....................................................

53

2.4.4. Итерационный метод с чебышёвским набором параметров..............

58

2.4.5. Неявный метод с чебышёвским набором параметров.......................

62

2.4.6. Метод минимальных невязок ..............................................................

63

2.4.7. Метод минимальных поправок............................................................

64

 

3

2.4.8. Метод скорейшего спуска....................................................................

65

2.4.9. Неявный метод скорейшего спуска....................................................

67

2.4.10. Скорость сходимости.........................................................................

67

Контрольные вопросы и задания..................................................................

68

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ.........................................................................

71

3.1. Метод половинного деления..................................................................

71

3.2. Метод простых итераций........................................................................

74

3.3. Метод Ньютона........................................................................................

78

3.4. Система нелинейных уравнений............................................................

83

3.4.1. Метод простых итераций.....................................................................

83

3.4.2. Метод релаксации.................................................................................

84

3.4.3. Метод Ньютона.....................................................................................

85

3.4.4. Нелинейный вариант метода Якоби...................................................

86

3.4.5. Нелинейный вариант метода Зейделя.................................................

86

Контрольные вопросы и задания..................................................................

88

4. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ ....................................................................

90

4.1. Интерполяция степенными функциями ................................................

91

4.1.1. Интерполяционный полином Ньютона..............................................

91

4.1.2. Интерполяционный полином Лагранжа.............................................

94

4.1.3. Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа) ...................................

95

4.1.4. Интерполяционный полином Эрмита.................................................

96

4.1.5. Сходимость процесса интерполяции полиномами............................

97

4.2. Интерполяция сплайнами.......................................................................

100

4.2.1. Построение кубического сплайна.......................................................

101

4.2.2. Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами.......

103

4.3. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве.....................

109

4.4. Метод наименьших квадратов ...............................................................

114

Контрольные вопросы и задания..................................................................

117

5. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ..............

119

5.1. Устойчивость собственных значений и векторов................................

120

5.2. Определение собственных значений методом интерполяции ............

124

5.3. Поиск собственных векторов .................................................................

125

5.4. Частичная проблема собственных значений.........................................

127

4

5.4.1. Метод линеаризации.............................................................................

127

5.4.2. Степенной метод...................................................................................

129

5.4.3. Метод обратных итераций...................................................................

130

Контрольные вопросы и задания...................................................................

132

6. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.......................................................

134

6.1. Разностная аппроксимация .....................................................................

134

6.2. Использование аппроксимации общего вида........................................

136

6.3. Применение интерполяционных формул..............................................

137

Контрольные вопросы и задания...................................................................

138

7. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ................................................................

139

7.1. Формула прямоугольников.....................................................................

140

7.2. Формула трапеций ...................................................................................

142

7.3. Формула Симпсона..................................................................................

145

7.4. Формула Эйлера.......................................................................................

148

7.5. Оценка погрешности методом Рунге.....................................................

149

7.6. Квадратурные формулы интерполяционного типа...............................

150

7.7. Квадратурные формулы наивысшей точности. Формулы Гаусса.......

152

Контрольные вопросы и задания...................................................................

158

8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ (ЗАДАЧА КОШИ) ......................................

160

8.1. Устойчивость решения задачи Коши.....................................................

162

8.2. Метод Пикара...........................................................................................

164

8.3. Метод Эйлера...........................................................................................

166

8.4. Метод Рунге–Кутты второго порядка аппроксимации.........................

172

8.5. Методы Рунге–Кутты третьего и четвертого порядков

 

аппроксимации................................................................................................

177

8.6. Метод Адамса...........................................................................................

178

8.7. Неявные схемы интегрирования.............................................................

180

8.8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы

 

дифференциальных уравнений......................................................................

183

8.8.1. Метод Эйлера для системы дифференциальных уравнений............

183

8.8.2. Метод Рунге–Куттыдлясистемыдифференциальныхуравнений.........

185

8.9. Разностные схемы интегрирования дифференциальных

 

уравнений второго порядка............................................................................

186

5

8.9.1. Схема Эйлера........................................................................................

187

8.9.2. Схема Эйлера–Кромера .......................................................................

187

8.9.3. Схема средней точки............................................................................

187

8.9.4 Схема полушага.....................................................................................

187

8.9.5. Схема Верле..........................................................................................

188

8.9.6. Схема Бимана........................................................................................

189

Контрольные вопросы и задания..................................................................

189

9. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ...........................................................

191

9.1. Метод пристрелки....................................................................................

192

9.2. Метод дифференциальной прогонки.....................................................

194

9.3. Метод моментов.......................................................................................

196

9.4. Метод Галеркина.....................................................................................

201

9.4.1. Разрешимость системы алгебраических уравнений метода

 

Галеркина........................................................................................................

205

9.5. Метод наименьших квадратов................................................................

207

9.5.1. Разрешимость системы уравнений метода наименьших

 

квадратов.........................................................................................................

209

9.5.2. Сходимость метода наименьших квадратов......................................

211

9.6. Метод Ритца.............................................................................................

212

9.6.1. Сходимость метода Ритца....................................................................

215

9.7. Сеточный метод решения линейной граничной задачи.......................

217

9.7.1. Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений

 

сеточного метода............................................................................................

218

9.7.2. Оценка порядка погрешности аппроксимации..................................

219

9.7.3. Метод прогонки для решения сеточной задачи.................................

220

Контрольные вопросы и задания..................................................................

222

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ

 

ПРОИЗВОДНЫХ....................................................................................................

224

10.1. Некоторые дифференциальные уравнения второго порядка ............

224

10.1.1. Уравнение теплопроводности ...........................................................

225

10.1.2. Уравнение свободных поперечных колебаний струны ..................

226

10.1.3. Уравнение стационарной диффузии.................................................

226

6

10.2. Дифференциальные уравнения для функций нескольких

 

переменных......................................................................................................

227

10.3. Метод Фурье разделения переменных.................................................

227

10.4. Основные понятия и определения теории разностных схем.............

229

10.4.1. Аппроксимация уравнения разностной схемой...............................

231

10.4.2. Устойчивость разностной схемы.......................................................

234

10.4.3. Сходимость разностного решения.....................................................

246

Контрольные вопросы и задания...................................................................

247

11. СЕТОЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ

 

ПРОИЗВОДНЫХ....................................................................................................

249

11.1. Уравнения первого порядка..................................................................

249

11.1.1. Схемы бегущего счета........................................................................

249

11.1.2. Явно-неявная схема............................................................................

253

11.1.3. Схема для двумерного уравнения переноса.....................................

253

11.2. Уравнения параболического типа........................................................

255

11.2.1. Схема с «весами» ................................................................................

255

11.2.2. Трехслойная схема Ричардсона.........................................................

258

11.2.3. Схема Дюфорта и Франкела...............................................................

259

11.2.4. Схема бегущего счета.........................................................................

259

11.2.5. Схема для многомерного уравнения.................................................

261

11.2.6. Схема переменных направлений.......................................................

262

11.2.7. Метод расщепления............................................................................

263

11.3. Уравнения гиперболического типа ......................................................

264

11.3.1. Схема «крест»......................................................................................

265

11.3.2. Разностная схема с «весами» .............................................................

267

11.3.3. Схема для многомерного уравнения.................................................

268

11.3.4. Факторизация разностной схемы с «весами»...................................

269

11.4. Уравнения эллиптического типа...........................................................

271

Контрольные вопросы и задания...................................................................

276

12. МЕТОД МОМЕНТОВ (ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК) ...................................

279

12.1. Частные случаи метода моментов........................................................

284

12.1.1. Метод Галеркина.................................................................................

285

12.1.2. Метод коллокаций...............................................................................

286

12.1.3. Метод подобластей.............................................................................

287

7

12.1.4. Метод наименьших квадратов...........................................................

288

12.1.5. Метод конечных разностей................................................................

290

Контрольные вопросы и задания..................................................................

291

13. АППРОКСИМАЦИЯ КУСОЧНО-ГЛАДКИМИ ФУНКЦИЯМИ................

292

13.1. Функции одной переменной.................................................................

292

13.1.1. Кусочно-постоянные функции..........................................................

292

13.1.2. Кусочно-линейные функции..............................................................

294

13.1.3. Функции высших степеней................................................................

297

13.1.4. Иерархические многочлены ..............................................................

300

13.2. Функции двух переменных...................................................................

304

13.2.1. Треугольные конечные элементы: линейная аппроксимация........

304

13.2.2. Треугольные конечные элементы: квадратичная

 

аппроксимация................................................................................................

305

13.2.3. Четырехугольные конечные элементы.............................................

310

13.3. Функции трех переменных...................................................................

310

Контрольные вопросы и задания..................................................................

312

14. МЕТОД ГАЛЕРКИНА: ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.......................

315

14.1. Уравнение стационарной теплопроводности......................................

315

14.1.1. Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями...........

315

14.1.2. Процедура ансамблирования конечных элементов.........................

318

14.1.3. Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями....

323

14.1.4. Использование иерархических многочленов...................................

326

14.2. Уравнение нестационарной теплопроводности..................................

329

Контрольные вопросы и задания..................................................................

332

15. МЕТОД ГАЛЕРКИНА: ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО

 

ТВЕРДОГО ТЕЛА..................................................................................................

333

15.1. Построение разрешающих соотношений............................................

334

15.1.1. Уравнение равновесия........................................................................

334

15.1.2. Физические уравнения.......................................................................

337

15.1.3. Геометрические уравнения................................................................

338

15.1.4. Ансамблирование конечных элементов...........................................

340

15.2. Плоско-деформированное состояние ..................................................

341

15.3. Плоско-напряженное состояние...........................................................

354

8

15.4. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние...........

355

15.5. Решение задач упругопластичности.....................................................

359

15.5.1. Метод переменных параметров упругости.......................................

360

15.5.2. Метод дополнительных нагрузок......................................................

362

Контрольные вопросы и задания...................................................................

364

16. МЕТОД ГАЛЕРКИНА: ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ....................

366

16.1. Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь

 

скорости» .........................................................................................................

366

16.2. Граничные условия................................................................................

368

16.2.1. Граничные условия для функции тока..............................................

368

16.2.2. Граничные условия для функции завихренности............................

369

16.3. Соотношения метода Галеркина...........................................................

370

16.3.1. Разрешающие соотношения для функции тока................................

370

16.3.2. Разрешающие соотношения для функции завихренности..............

371

16.3.3. Разрешающие соотношения для поля давления...............................

373

16.3.4. Алгоритм решения задачи..................................................................

374

Контрольные вопросы и задания...................................................................

377

17. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ...........................................................

379

17.1. Фундаментальное решение...................................................................

381

17.2. Построение фундаментального решения.............................................

391

Контрольные вопросы и задания...................................................................

395

Приложение 1. δ-ФУНКЦИЯ ДИРАКА................................................................

396

Приложение 2. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА..................................

401

Приложение 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ............................................................

410

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ...............................................................................

412

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК....................................................................

419

9

ВВЕДЕНИЕ

Впроцессе человеческой деятельности возникает огромное количество вопросов, и получить на них ответы с помощью натурных наблюдений и экспериментальных исследований, которые могут требовать огромных материальных и финансовых затрат, чрезвычайно трудно, а порой просто невозможно. Множество объектов, недоступных для исследования, расположены в недрах Земли или в далеком космосе. Какие процессы имеют место, например, в глубинах Солнца или планет солнечной системы? Как ведет себя материал заготовки при его термической и механической обработке?

Вэтой ситуации специалисту приходит на помощь особая форма изучения окружающей действительности – вычислительное моделирование. Для квалифицированного проведения исследовательской работы требуется знать многие разделы современной математики: линейную алгебру и математический анализ, теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения математической физики, тензорный анализ и дифференциальную геометрию, основы функционального анализа и теорию вероятностей, специальные разделы математики. В то же время современный исследователь должен глубоко понимать основы своей предметной области: физики, механики, химии, геологии, электротехники, строительства, фармакологии, медицины, экологии, экономики и многих смежных дисциплин.

Основной целью вычислительного моделирования является не столько описание известных фактов в поведении объекта, сколько предсказание его поведения в нестандартных ситуациях. Широчайшие возможности в этом направлении дает моделирование процессов в их развитии с течением времени, то есть эволюции. Это позволяет исследовать влияние множества факторов самой различной природы на поведение описываемых объектов, изучить их реакцию на изменение начальных и граничных условий, оценить устойчивость по отношению к возмущению параметров, определяющих эволюционные изменения.

Основным инструментом инженера-исследователя является компьютер, владеть которым он обязан в совершенстве, то есть в полной мере постичь ос-

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]