другого, минуя денежную оценку. Для порядковой функции полезности предельная норма замещения не зависит от выбранного преобразования φ(U), поскольку предельные полезности в данной теории не играют такой большой роли, как в теории количественной функции полезности. В теории порядковой функции полезности рассматривают отношение предельных полезностей.

3.2. Рыночные возможности потребителя, максимизация функции полезности

Граница возможностей потребителя представлена бюджетным ограничением, которое определяется, с одной стороны, доходом, имеющимся в распоряжении потребителя, с другой стороны, ценами товаров, входящих в его потребительский набор.

Предположим, что в набор потребителя входят два товара x и y. Их цены соответственно равны Px и Py. Доход потребителя, который он может потратить на два товара, составляет величину М. Тогда бюджетное ограничение можно записать в виде:

где М – количество располагаемых домашним хозяйством денег. В рассматриваемом нами случае все деньги расходуются на покупку товаров.

Запишем задачу максимизации функции полезности при данном бюджетном ограничении:

Если мы выбираем значения X и Y, которые удовлетворяют бюджетному ограничению, то второй член в уравнении (3.13) будет равен нулю и максимизация Ф будет эквивалентна максимизации u(X,Y). Дифференцируя F по X,Y и λ, и затем приравнивая все производные к нулю, мы получим условия максимума для

39

существования «внутреннего» решения, при котором потребитель спрашивает положительные количества обоих товаров.

х2*(определяющие точку оптимального выбора потребителя) выраженное через Px1,

Px2 и М.

Третье условие совпадает с бюджетным ограничением. Первые два условия (3.14,3.15) говорят, что каждый продукт будет потребляться до тех пор, пока предельная полезность его потребления не станет равной произведению множителя Лагранжа (λ) и цены продукта. Следствием этих двух соотношений является

Действительно, точка (x*,y*) касания линии безразличия бюджетной линии существует и является единственной (рисунок 3.5). В точке А достигается максимум функции полезности, отклонение от этой точки по линии безразличия приведёт к невыполнению бюджетного ограничения.

Из равенства (3.14, 3.15) следует, что при оптимальной структуре

у

Рисунок 3.5 – Равновесие потребителя

Мы знаем, что предельная норма замены между продуктами равна отношению предельных полезностей, следовательно, необходимое условие

40

оптимальности может быть выражено иначе. С точки зрения максимизации функции полезности наилучшая структура закупок товаров при данных ценах и доходе достигается тогда, когда предельная норма замещения оказывается равной отношению цен:

Это равенство объясняет почему в современной экономической теории понятие предельной нормы замещения играет столь большую роль.

Найти решение системы уравнений (3.17, 3.18) значит выразить искомые величины x, y, λ через заданные в условиях задачи цены и доход. Запишем это решение в общем виде

Функции (3.21, 3.22) называются функциями спроса. Это однородные функции нулевой степени, то есть при увеличении цен и дохода в k раз спрос не изменится.

Система функций спроса (3.21, 3.22) описывает оптимальное поведение потребителя при небольших изменениях цен и дохода. Решение оптимизационной задачи (3.14 – 3.16) даёт нам не только знание оптимальной структуры потребления при данных ценах и доходе (точка (x*, y*)); но и позволяет с помощью системы функции спроса (3.21, 3.22) предсказать поведение потребителя при незначительных изменениях цен и дохода.

Таким образом, поведение домашних хозяйств может быть описано двояким образом: с помощью оптимизационной задачи (максимум функции полезности при заданном бюджетном ограничении) и с помощью системы функций спроса.

Это обстоятельство важно, так как построить систему функций спроса на основе статистических наблюдений оказывается в некоторых случаях проще, чем пытаться построить функцию полезности. Таким примером является так называемая система функций спроса Р. Стоуна.

3.3. Система функций спроса Р. Стоуна

Система функций спроса Р. Стоуна появляется в результате решения задачи максимизации функции полезности специального вида U(x, y) = (x – a1)c1(y – a2)c2 при заданном бюджетном ограничении. Поскольку рассматривается порядковая

41

функция полезности, постольку в некоторых случаях оказывается удобно использовать некоторое её преобразование, например, lnU(x, y).

В этих функциях спроса а1 и а2 – минимальное потребление продуктов. Поэтому величина p1a1+ p2a2 характеризует расходы потребителей, не зависящие от дохода, то есть это так называемый бюджет-минимум. M – p1a1 – p2a2 можно назвать достатком. Как видим в функциях спроса Р. Стоуна достаток при закупках продуктов распределяется в соответствии с предпочтениями, которые определяются коэффициентами c1 и c2. Если в функциях спроса (3.28, 3.29) цены считать неизменными, то спрос будет определяться только доходом. Такого рода зависимости называют кривыми Энгеля.

3.4. Эффекты дохода и эффекты замещения по Слуцкому

Для выделения эффекта замены (ЭЗ) и эффекта дохода (ЭД) необходимо переход от одного оптимума потребителя к другому (в результате изменения цены блага) разложить на составляющие таким образом, чтобы выделить отдельно изменение в величине спроса, вызванное изменением относительной цены блага при постоянной покупательной силе денежного дохода (что предполагало бы возможность приобретения исходной корзины при полном использовании дохода) и самостоятельно рассмотреть изменение в величине спроса в связи с изменением в

42

покупательной силе дохода, находящегося в распоряжении потребителя при постоянных относительных ценах.

Влияние изменения цены на спрос рассмотрим на примере двух взаимозаменяемых товаров Х и Y.

Мы знаем, что графически подход Е. Слуцкого к разграничению эффекта дохода и эффекта замещения осуществляется посредством поворота и сдвига линии бюджетного ограничения (рисунок 3.6).

Первый шаг осуществляется посредством поворота исходной линии бюджетного ограничения вокруг оси, которой здесь является точка, соответствующая исходному первоначальному оптимуму потребителя. Пересечение двух линий бюджетного ограничения в точке исходного оптимума отражает условие о постоянстве покупательной силы денежного дохода, поскольку рассматриваемая потребительская корзина оказывается доступной в обеих случаях при условии полного использования дохода. Поворот же линии бюджетного ограничения вокруг исходной точки оптимума должен осуществляться до тех пор, пока предельная норма замены одного блага на другое в обмене не окажется равной вменённым издержкам покупки блага в результате изменения его денежной цены.

Второй шаг осуществляется посредством сдвига повёрнутой вокруг своей оси линии бюджетного ограничения до тех пор, пока она не достигнет точки на новой кривой безразличия, соответствующей новому спросу на оба блага (р и с).

Значение операции «поворот-сдвиг» заключается в том, что она позволяет разложить изменение величины спроса на две составляющих. При этом, изменение в спросе на оба блага происходит в результате изменения цены, тогда как реальный доход остаётся постоянным. Предпосылка о неизменности покупательной силы означает, что нужно произвести корректировку величины дохода в денежном (номинальном) выражении в том же направлении, что и изменение цены. Это соответствовало бы компенсирующему изменению реального дохода. Таким образом, корректировка денежного дохода осуществляется в направлении противоположном изменению денежного дохода на одну и ту же величину.

Следовательно, если исходная линия бюджетного ограничения выглядит так:

то линия бюджетного ограничения, полученная в результате изменения относительной цены при постоянном реальном доходе, будет выглядеть следующим образом:

Вычитая первое уравнение из второго, можно получить ту величину, на которую должен измениться номинальный доход с тем, чтобы покупательная сила осталась прежней:

Величина эффекта замены при заданном изменении относительной цены зависит от характера предпочтений того или иного индивида, выражающегося в определённой конфигурации кривых безразличия, поскольку в основе лежит фундаментальный принцип равенства предельной нормы замены одного блага на другое в потреблении и обмене (MRSCXY = MRCEXY).

Следует обратить внимание, что здесь мы рассматриваем эффект замещения по Е. Слуцкому, где мы видим, что покупательная сила (реальный доход) и полезность (порядковая) далеко не одно и то же.

Y

X

Рисунок 3.6 – Эффект дохода, эффект замещения по Слуцкому

Если покупательная сила при замещении остаётся одной и той же, то полезность изменяется, что выражается в переходе с одной кривой безразличия на другую.

Используя принцип корреспондирующих графиков, можно построить кривую спроса, учитывающую только эффект замены. Она будет называться кривой индивидуального компенсированного спроса.

44

Когда рассматривается поведение потребителя при изменении его дохода и постоянных ценах, то возникает кривая, состоящая из множества точек, каждая из которых соответствует оптимуму потребителя при различных величинах дохода (кривая дохода и потребления). По условиям задачи, изменяется цена, тогда как номинальный доход постоянен. Отсюда параллельный сдвиг линии бюджетного ограничения связан не с изменением дохода, а с эффектом дохода, поскольку изменение денежной цены в определённой части ведёт к таким же последствиям, что и соответствующее изменение дохода. С учётом тех корректировок, которые были внесены при анализе эффекта замещения, можно сказать, что здесь соблюдается и формальное требование, так как изменяется доход в денежном выражении с величины, которая была получена в результате компенсирующего изменения до исходной:

Общее изменение в величине спроса на благо Х в результате изменения его цены, как уже отмечалось, состоит из эффекта дохода и эффекта замены, т.е.

X = XS + XI = X(Px; Py; I’) – X(Px;Py; I) + X(Px’;Py; I) – X(Px’;Py; I’). (3.35)

Последнее выражение носит название тождества Е. Слуцкого, поскольку обе части уравнения равны по определению (при любых значениях переменных).

Влияние изменения цены на спрос можно рассмотреть, используя при этом функции спроса при решении оптимизационной задачи.

Допустим, повысилась цена на первый товар. Это приведёт к снижению реального дохода, а следовательно, и к снижению спроса на оба товара, то есть изменится соотношение цен на товары. Решение проблемы выделение влияния изменения соотношения цен на спрос в чистом виде было найдено Слуцким (1914 г.), а затем воспроизведено Хиксом.

Используя упрощённый вариант, воспроизведём полученный Слуцким результат.

Запишем полные дифференциалы для функции спроса:

Будем рассматривать случай, когда изменяется цена первого товара, а цена второго остаётся неизменной, то есть dp2 = 0.

45

Запишем теперь формулу полного дифференциала для бюджетного

В выражении (3.38) сама dy1p1 + dy2p2 вдоль линии безразличия равна нулю, ибо u1dy1 + u2dy2= 0, u1 = λp1, u2 = λp2 и λ ≠ 0. Следовательно, dM = y1dp1. Это так называемое компенсационное изменение дохода, то есть такое изменение дохода, которое позволяет потребителю при изменении цены остаться на прежней линии безразличия.

Следовательно, формулы (3.36 – 3.38) могут быть теперь записаны в следующем виде:

В левой части выражений (3.39 – 3.40) стоит изменение спроса на первый и второй товары при изменении цены на первый товар при условии такого изменения дохода, когда потребитель остаётся на прежней линии безразличия, то есть его положение (U = const) не изменяется. Изменяется лишь структура потребления под влиянием изменения соотношения цен. Поэтому величины, стоящие в левой части, суть компенсационное изменение спроса, вызванное исключительно изменением соотношения цен.

Разделим обе части выражений (3.39 – 3.40) на dp1 и преобразуем их к виду:

Итак, в соответствии с формулами разложения Слуцкого (3.41 – 3.42) общее влияние изменения цены на спрос может быть разложено на два эффекта. Изменение спроса под влиянием одного только изменения соотношения цен – первое слагаемое в формулах (3.41 – 3.42). Это изменение спроса называют компенсированным изменением спроса. И изменение спроса под влиянием изменения только реального дохода, – второе слагаемое в формулах (3.41 – 3.42).

Аналогичные формулы могут быть получены, если мы фиксируем р1 и изменяем р2. При бесконечно малом изменении цены, рассмотренной выше интерпретации разложения Слуцкого, становятся естественно неразличимы.

46