5.Теория экономики благосостояния

5.1.Оптимальное распределение ограниченных ресурсов

Успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования ресурсов. В процессе экономической деятельности приходится распределять такие важные ресурсы, как деньги, товары, сырьё, оборудование, рабочая сила и др. И от того, как будут распределяться эти, как правило, ограниченные ресурсы, зависит конечный результат деятельности, бизнеса.

Суть методов оптимизации заключается в том, что исходя из наличия определённых ресурсов выбирается такой способ их распределения, при котором обеспечивается максимум (или минимум) интересующего нас показателя. При этом учитываются определённые ограничения, налагаемые на использование ресурсов условиями экономической ситуации.

Оптимальное распределение ресурсов – такое распределение ограниченных ресурсов, которое обеспечивает их наилучшее использование с точки зрения заданного критерия оптимальности. Проблема оптимального распределения ресурсов решается с помощью экономико-математических моделей (линейного и нелинейного программирования и т. д.). При этом все экономикоматематические модели направлены на то, чтобы обеспечить минимум затрат либо максимум эффекта при ограничениях по объёму ресурсов и потребности в них.

В качестве критерия оптимальности распределения ресурсов используется критерий, предложенный В. Парето, согласно которому использование экономических ресурсов является эффективным (Парето-оптимальным) в том случае, если невозможно за счёт их перераспределения улучшить положение одних экономических субъектов, не ухудшая положения других. И наоборот, использование ресурсов является неэффективным (неоптимальным по Парето), если их перераспределение между экономическими субъектами может улучшить положение одних, не ухудшая положения других.

Условия достижения эффективности в распределении факторов производства можно рассмотреть с помощью диаграммы Эджуорта, которая служит удобным инструментом для анализа производства и распределения ресурсов в экономике с фиксированным предложением труда и капитала (рисунок 5.1).

68

Размеры диаграммы определены количеством используемых ресурсов. Длина горизонтальных сторон соответствует количеству труда, вертикальных – количеству капитала. Количество труда и капитала, используемое в производстве блага Х, откладываются соответственно по нижней горизонтальной и левой вертикальной сторонам диаграммы от левого нижнего угла (точка 0Х). Количество труда и капитала, используемое в производстве блага Y, откладываются соответственно по верхней горизонтальной и правой вертикальной сторонам диаграммы, от правого верхнего угла (точка 0Y). Изокванты выпуклые по отношению к началу координат 0Х, характеризуют производственную функцию блага Х. Изокванты выпуклые по отношению к точке 0Y, характеризуют производственную функцию блага Y. Каждая точка в диаграмме Эджуорта характеризует определённый способ распределения ресурсов между производством различных благ.

Рисунок 5.1 – Диаграмма Эджоурта

Предположим, что исходное распределение ресурсов соответствует точке С. На производство блага Х расходуется труда и капитала, а на производство блага Y – труда и капитала. Объём производства блага Х составляет при этом величину Х1, а блага Y – Y2.

Такое распределение ресурсов не является эффективным по Парето. Об этом свидетельствует тот факт, что изокванты, характеризующие технологии производства благ Х и Y, в точке С пересекаются, очерчивая линзообразную область. Любая точка в данной области характеризует распределение ресурсов, которое обеспечивает большие объёмы производства обоих товаров. Любая точка на границах линзообразной области характеризует распределение ресурсов, которое позволяет увеличивать выпуск одного из благ, не изменяя объёма выпуска другого блага. Парето-оптимальным может быть только такое распределение ресурсов, которое соответствует точкам касания изоквант, характеризующих

69

производство различных благ. Соединяя все линии касания изоквант в диаграмме Эджоурта, получаем линию производственных контрактов. Она характеризует всю совокупность способов распределения ресурсов, которые соответствуют критерию Парето-оптимальности.

Все Парето-оптимальные способы распределения ресурсов обладаю одним общим свойством. Тангенсы углов наклона изоквант и, следовательно, предельные нормы замещения ресурсов одинаковы для обоих благ:

(5.1)

Если рынки факторов конкурентные, то ставка заработной w платы будет одинакова во всех отраслях. Аналогично, рентная цена капитала r будет одна и та же – будь то производство еды или одежды. Известно, что производители минимизируют издержки, используя такие комбинации труда и капитала, что соотношение предельных продуктов двух факторов равно соотношению их цен:

Соотношение предельных продуктов двух факторов равно предельной норме технологического замещения труда капиталом, следовательно:

Поскольку выражает наклон изокванты фирмы, то конкурентное равновесие на рынке факторов производства имеет место, если каждый производитель использует труд и капитал так, что наклоны изоквант совпадают и равны отношению цен факторов. Таким образом, конкурентное равновесие должно находиться на кривой контрактов и конкурентное равновесие в производстве эффективно. Если начальное распределение находится вне кривой контрактов, то оба производителя сочтут перераспределить свои затраты труда и капитала, нанимая, если нужно работников и занимая капитал с целью минимизации издержек.

Из диаграммы так же ясно, что конкурентное равновесие на рынке факторов не единственное, так как зависит от спроса на продукты производства. Допустим равновесие на рынке факторов производства установилось в точке А. Повышение потребительского спроса на благо Х, ведёт к увеличению его производства. Изокванта сдвигается вправо вверх (Х1 →Х2), что вызывает рост использования факторов, необходимых для производства блага Х. При условии ограниченности ресурсов данное положение сокращает уровень производства блага Y и изокванта сдвигается из положения Y3 в положение Y2. Таким образом, устанавливается новое конкурентное равновесие на рынке факторов производства в точке В.

70

5.2. Применение метода Лагранжа к модели распределения факторов производства

Точку рыночного равновесия можно определить, решив математическую задачу максимизации суммарного дохода. Целевая функция в этой задаче – суммарный доход, который получат обе отрасли от реализации произведённой продукции. Задача может быть решена методом неопределённых множителей Лагранжа.

Пусть модель каждой отрасли представляет собой производственную функцию общего вида. Задача определения точки равновесия ставится следующим образом:

Вэтой задаче известны математические формы производственных функций, цены PX и PY на производимую продукцию X и Y, суммарные расходы K и L на оплату капитала и труда соответственно. Искомыми переменными задачи являются: X, Y – объёмы производства продукции двух отраслей, K1, K2 – капитальные затраты двух отраслей, L1, L2 – затраты на оплату труда двух отраслей.

Впроцессе решения поставленной задачи сначала выводим необходимые условия межотраслевого равновесия, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа. Составляем функцию Лагранжа:

Находим частные производные функции Лагранжа по переменным выпуска продукции X, Y и приравниваем их к нулю:

Таким образом, в точке равновесия переменные Лагранжа λX и λY равны ценам на продукцию соответствующих отраслей.

Берём частные производные функции Лагранжа по капитальным затратам и приравниваем их к нулю:

F/K1 = λX f1/K1 – λF = 0,

F/K2 = λY f2/K2 – λF = 0.

Отсюда, подставив значения λX и λY из (5.6) и (5.7), выводим:

Показатель λK имеет смысл стоимости предельного продукта капитальных затрат каждой отрасли. Из формул (5.8) и (5.9) следует, что в точке равновесия достигается равенство:

В обеих частях полученного уравнения имеем произведение цены на предельный продукт капитальных затрат. Отсюда вытекает первое условие равновесия: в точке рыночного равновесия величина стоимости предельных продуктов капитальных затрат двух отраслей одинакова.

Возьмём теперь частные производные функции Лагранж по трудозатратам и получим:

F/L1 = λX f1/L1 – λF = 0, F/L2 = λY f2/L2 – λF = 0.

Отсюда, подставив значения λX и λY из (5.6) и (5.7), выводим:

Показатель λL имеет смысл стоимости предельного продукта трудозатрат каждой отрасли. Из формул (5.11) и (5.12) следует, что в точке равновесия достигается равенство:

В обеих частях полученного уравнения имеем произведение цены на предельный продукт трудозатрат. Отсюда получаем второе условие равновесия: в точке рыночного равновесия стоимости предельных продуктов трудозатрат двух отраслей равны.

72