3.Модели поведения домашних хозяйств

3.1.Функция полезности

Втеории полезности предполагается, что полезность – это субъективная оценка удовлетворения от потребления благ конкретным потребителем. При этом поведение потребителя рационально, т.е., зная хорошо полезные свойства товара, потребитель стремится к максимизации полезности в рамках ограниченного дохода

исуществующих на рынке цен.

Мы знаем, что понятие полезности является центральной категорией кардиналистской концепции, изучающей вкусы покупателя и предполагающей, что потребители способны определить, насколько один набор полезнее другого, а также ординалистской теории потребительского выбора, которая утверждает, что потребитель в состоянии лишь упорядочить различные наборы товаров по их предпочтительности для него, но не в состоянии определить, насколько один набор товаров полезнее другого. В рамках ординалистских теорий функция полезности приобретает дополнительное значение – становится способом предоставления предпочтений индивида. Совокупность предпочтительных товаров образует линию безразличия. Расстояние между линиями безразличия в кардиналистской теории количественная функция полезности несёт определённую информацию, а в теории порядковой функции полезности (ординалистская) расстояние между линиями безразличия может быть любым, отражая тем не менее одну и ту же систему предпочтений.

Функция полезности может включать любое количество переменных (товарных наборов), следовательно, её можно записать как u = f(x, y,…n), где x, y,…n

– товарные наборы. Простая функция полезности, с которой мы будем иметь дело, включает товарный набор, состоящий только из двух товаров. u = f(x, y), где x, y количество товаров.

В теории порядковой функции полезности расстояние между линиями безразличия не имеет никакого значения, и поэтому функция полезности задаётся с точностью до любого монотонно возрастающего преобразования φ(U) такого, что φ’(U) > 0. Таким образом, наряду с исходной функцией полезности может быть использована, например, функция lnU. Иначе говоря, U и lnU отражают одну и ту же систему предпочтений.

35

Шесть известных из курса микроэкономики аксиом позволяют представить потребительские предпочтения с помощью непрерывной вещественной функции полезности, так как ставят в соответствие каждому набору некоторое число или индекс полезности. Утверждение U(x1) >U(x2) означает, что х1 предпочтительнее х2. Кривые безразличия в этом случае оказываются линией, все наборы на которой в одинаковой степени удовлетворяют потребность.

В самом общем виде, когда объёмы потребления благ X и Y являются переменными величинами, предельная полезность блага x1 представляет собой частную производную общей полезности товарного набора по объёму потребления товара X:

Если функцию переменных в нашем примере представить в виде: u = u(x,y),

то

Для нахождения частных производных по одной из переменных, например х, следует считать, что остальные аргументы функции (в нашем примере y) являются фиксированными величинами, при этом ранее известные правила дифференцирования сохраняются.

Частные производные функции первого порядка строго больше нуля, ux> 0, uy> 0. Эти частные называют предельными полезностями.

Угол наклона функции – это угол, который образует функция с положительным направлением оси аргумента. Величина угла наклона функции равна тангенсу этого угла.

Угол наклона функции может быть острым или тупым. Если угол наклона функции острый, то его тангенс положительный. Если угол наклона функции тупой, то его тангенс отрицательный и, как правило, определяется по формуле приведения через тангенс смежного острого угла: tg (180˚ – α) = – tgα,

где α – смежный с тупым углом острый угол.

Угол наклона линейной функции

Прямая, служащая графиком функции y = ax+b, образует с положительным направлением оси аргумента (оси 0х) угол, тангенс которого равен α. Постоянная величина а называется угловым коэффициентом функции (рисунки 3.1 и 3.2).

36

Угол наклона нелинейной функции

Угол наклона нелинейной функции – это угол, который образует касательная к графику функции, проведённая в некоторой точке, с положительным направлением оси аргумента. Тангенс угла, который образуют касательная и положительное направление оси аргумента, называется тангенсом угла наклона функции в соответствующей точке. Угол наклона нелинейной функции также может быть положительным и отрицательным (рисунки 3.1 и 3.2).

Вторая производная функции есть производная производной от этой функции.

Если функция f(x) дифференцируема в промежутке (a;b), то производная данной функции f(x) представляет собой функцию аргумента х. Выбрав некоторую точку х0 ϵ (a;b), составим приращение аргумента ∆х = х – х0 и приращение функции

то функция f(x) имеет производную второго порядка в точке х0. Производную второго порядка функции f(x) в точке х0 обычно обозначают f(x0).

Тангенс угла наклона функции равен значению первой производной функции в точке касания (точке А на рисунках 3.3 и 3.4).

Вторая производная характеризует изгиб функции. Функция, вторая производная которой отрицательна в некоторой точке, вогнута вблизи этой точки, и её наклон убывает. Функция, вторая производная которой положительна в некоторой точке, выпукла вблизи этой точки, и её наклон возрастает. Функция,

37

вторая производная которой в некоторой точке равна нулю, горизонтальна близи этой точки.

Вдоль линии безразличия полный дифференциал функции полезности равен

нулю:

Отсюда получаем следующее равенство:

В левой части равенства стоит величина, которую называют предельной нормой замещения. Речь здесь идёт о таком замещении одного продукта другим, при котором уровень полезности не меняется. Или иначе предельная норма замещения показывает, насколько должно уменьшиться потребление одного продукта при увеличении потребления другого на единицу и при условии, чтобы мы остались на прежней линии безразличия. Мы знаем, при движении по кривой безразличия вправо вдоль оси абсцисс предельная норма замещения убывает:

Таким образом, предположение о вогнутости вверх линий безразличия может быть заменено на эквивалентное предположение об убывании предельной нормы замещения.

Предельная норма замещения имеет большое значение в современной экономической теории, так как позволяет оценить один продукт в единицах

38