3.5Функция компенсированного спроса (функция спроса Хикса)

Врезультате решения задачи максимизации функции полезности при заданном бюджетном ограничении мы получаем функции спроса (3.21 – 3.22), которые называют функции спроса Маршалла. Эти функции описывают зависимость спроса от цен и дохода:

y1 = f1(p1, p2, M);

y2 = f2(p1, p2, M).

Минимизируя расходы потребителя при фиксированном уровне функции

где U – некоторое фиксированное значение функции полезности (заданная в условии задачи линия безразличия). В результате решения этой задачи мы получаем функции компенсированного спроса:

Эти функции называют функциями спроса Хикса. Они являются функциями компенсированного спроса, так как в них рассматривается такое изменение спроса при изменении цен, при котором положение потребителя не изменяется – он остаётся на фиксированной линии безразличия. А это при изменении цен возможно лишь при соответствующем изменении дохода. Для любой заданной на линии безразличия точки выполняются следующие равенства:

(comp) = .

Другими словами, в любой заданной точке производная функции компенсированного спроса равна слагаемому в формуле разложения Слуцкого, которое характеризует эффект замены.

47

3.6. Эластичности. Классификация товаров

Используя функции спроса, можно рассчитать точечные эластичности спроса по цене и по доходу. Эластичность на данный товар по цене – прямая эластичность.

Обозначим эластичность спроса на первый товар по его цене через ε11. Для функции спроса Маршалла она равна:

Перекрестная эластичность суть эластичность спроса на данный товар по цене другого товара. Например, эластичность спроса на второй товар по цене первого равна:

Обозначим далее эластичность спроса на первый товар по доходу через Е1М. Для функции спроса Маршалла она равна:

Аналогично может быть рассчитана и эластичность спроса на второй товар по доходу. Если Е1М > 0, то товар относят к группе ценных, если же Е1М < 0 – то к группе малоценных.

Используя функции спроса Хикса, мы можем рассчитать эластичности компенсационного спроса по цене, используя формулу разложения Слуцкого эластичности компенсационного спроса могут быть рассчитаны и с помощью функций спроса Маршалла.

Эластичности широко применяются в экономической теории, в частности при классификации товаров на различные группы: нормальные и низкие товары, товары Гиффена.

В теории функции полезности все товары делятся на взаимозаменяемые и взаимодополняющие. Если мы рассматривали теорию функции полезности на примере двух товаров, речь может идти только о взаимозаменяемых товарах.

Для двух взаимозаменяемых товаров эластичности компенсированного спроса имеют противоположные знаки. Например, если первый товар является нормальным, то прямая эластичность компенсированного спроса на него меньше нуля Е11к < 0, а эластичность компенсированного спроса на второй товар по цене первого для взаимозаменяемого товара больше нуля Е21к>0. Если же второй товар

48

является взаимодополняющим к первому (при наличии в наборе товаров более двух), то эластичность компенсированного спроса на этот товар по цене первого будет меньше нуля.

Найдём производную расходов на первый товар по его цене:

Если, например, с ростом цены расходы на закупку данного товара возрастают (то есть в нашем случае производная расходов на первый товар по его цене больше нуля), то y1(1 + Е11) > 0 и, следовательно, Е11 >–1. В этом случае говорят, что данный товар является предметом первой необходимости. Если же с ростом цены на данный товар расходы на закупку данного товара уменьшаются (Е11 <–1), то данный товар относят к предметам роскоши.

Далее найдём производную доли расходов на первый товар по доходу:

Различают две группы товаров в связи с изменением доли расходов на данный товар с изменением дохода: либо эта доля с ростом дохода возрастает либо убывает. Если доля расходов на данный товар с ростом дохода возрастает, то очевидно:

В противном случае (Е1М < 1).

Ещё Э. Энгель, изучавший распределение расходов домашних хозяйств с разным уровнем дохода на удовлетворение различных групп потребностей (питание, одежда, жильё, образование и др.), заметил, что с ростом дохода доля расходов на питание сокращается, а, к примеру, доля расходов на образование возрастает.

Для выведения уравнений агрегации эластичностей, то есть соотношений, связывающих между собой различные эластичности можно записать формулы разложения Слуцкого в терминах эластичности.

Уравнение агрегации Э. Энгеля выводим, дифференцируя бюджетное ограничение М = р1y1 + р2y2 по доходу М:

Далее преобразуем слагаемые этого уравнения таким образом, чтобы в них появились эластичности:

49

Уравнение агрегации Курно выводим, дифференцируя бюджетное ограничение М = p1y1 + p2y2 по цене. Сначала по цене первого товара р1:

y1 + р1 + р2 = 0.

Запишем теперь формулы разложения Слуцкого с использованием эластичностей. Формулы (3.41 – 3.42), которые мы вывели, предполагая неизменной цену второго товара р2 и изменяя цену первого р1, легко могут быть

Уравнение агрегации эластичностей компенсированного спроса получаем следующим образом. Сложим уравнения (3.59) и (3.60), предварительно умножив первое на α1 и второе на α2. В результате получим:

Теперь выведем уравнения агрегации, вытекающие из однородности нулевой степени функций спроса Маршалла. Функции спроса (3.21 – 3.22) являются однородными нулевой степени, то есть при одновременном изменении цен и

50

дохода в q раз спрос не меняется, например, для функции спроса на первый товар выполняется равенство:

Из однородности нулевой степени функции спроса следует:

Разделив обе части уравнения (3.66) на х, получим:

Используя функцию спроса на второй товар, по аналогии получаем:

Мы видим, что уравнение агрегации Энгеля является линейной комбинацией уравнений ( ) и ( ) взятых с коэффициентами соответственно α1 и α2.

Если выделим всю систему уравнений (3.56), (3.57), (3.58), (3.59), (3.60), (3.61), (3.62), (3.63), (3.64), (3.68), (3.69) получим одиннадцать уравнений. Из них линейно независимыми являются девять, неизвестными являются десять эластичностей (ε1М, ε2М, ε11, ε21, ε12, ε22, ε11к, ε21к, ε12к, ε22к) и одна из долей α1 или α2, т.к. α1 + α2 = 1. Итого одиннадцать переменных при девяти линейных независимых уравнениях. Следовательно, задав три переменных, можно найти остальные девять. Отсюда значение выведенных уравнений состоит, в частности, в том, что, зная численное значение двух каких-либо эластичностей и одну из долей (α1 или α2), можно рассчитать численные значения остальных эластичностей.

Контрольные вопросы

1.Чем отличаются полезность и предпочтения?

2.Как соотносятся предпочтения и функция полезности?

3.Изменяет ли монопольная трансформация порядок предпочтений?

4.Каким образом взаимосвязаны уровень цен и оптимум потребителя? доход и равновесие потребителя?

5.Если изменение в цене блага для всех потребителей сопровождается положительными эффектами замещения и дохода, то как это отразится на рыночном спросе?

51