Назаметдинов Анализ данных 2012

простым усреднением при той же ширине окна. В каком случае дисперсия сглаженных значений меньше? Насколько? Почему?

9.Как изменится дисперсия случайной компоненты, если для исключения тренда перешли к ряду разностей второго порядка?

10.Может ли сезонный эффект содержать трендовую составляющую?

11.Почему выделение тренда предшествует выделению сезонного эффекта?

12.Какая из моделей линейного роста: Брауна или Хольта – проще в оценивании?

13.Предложите интерпретацию параметров модели Хольта.

14.В чем состоит различие моделей Уинтерса и Тейла−Вейджа?

15.Как соотносятся понятия «случайный процесс» и «случайная последовательность»?

16.Временной ряд длиной N состоит из последовательно чередующихся пиков и впадин. Найдите минимальное значение N, при котором с вероятностью 0,95 можно утверждать, что данный ряд не случайный.

17.Какое максимальное число поворотных точек может содержать временной ряд из N наблюдений?

18.В чем различие между процессом скользящего среднего и методом скользящего среднего?

19. Покажите, что разность второго порядка для ряда yt a0 a1t равняется нулю.

20.Поясните, почему у процесса скользящего среднего СС(q) независимыми являются члены, отстоящие более чем на (q+1) такт.

21.Какой процесс называется стационарным?

22.В чем состоит различие между стационарностью в широком

иузком смыслах?

23.Для каких временных рядов понятия стационарности в узком

ишироком смыслах совпадают?

24.Является ли стационарным процесс

191

где ε0 N(0,σ2). Опираясь на определение эргодичности, докажите, что данный процесс не является эргодическим.

25.Что является аргументом автокорреляционной функции?

26.Почему сумма коэффициентов в методе скользящего среднего равняется единице?

27.Каким ограничениям должны удовлетворять коэффициенты модели процесса Юла? Изобразите на плоскости с координатами а1,а2 фигуру, отвечающую этим ограничениям.

28.Почему нельзя воспользоваться t-статистикой в тесте Дики– Фуллера?

29.Модель ряда представлена в виде

(1-0,3В)(1-В)2уt=(1-0,5В)εt.

Запишите ряд в виде, пригодном для прогнозирования.

30.Является ли стационарным ряд уt=1,2уt-1 – 0,6yt-2+εt ?

31.Каков, как правило, масимальный порядок авторегрессии, скользящего среднего и разности в практических задачах?

32.Можно ли использовать тест Дики–Фуллера для разностей высокого порядка?

33.Как учитывается изменчивость дисперсии в моделях условной гетероскедастичности?

34.Каким методом оцениваются параметры авторегрессионных условно гетероскедастичных моделей?

192

8. МНОГОМЕРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Описание объекта с помощью единственного регрессионного уравнения или изолированного временного ряда часто оказывается недостаточным. Моделирование реальной экономической системы или процесса предполагает описание отдельных подсистем и их взаимосвязей, обусловленных действием экономических законов, институциональных установлений, технологических ограничений. Выбрав определенные целевые переменные, исследователь для каждой из них строит соотношение, в котором изменение целевой переменной объясняется с помощью других, «объясняющих», переменных. Для объясняющих переменных, в свою очередь, строят новые уравнения и так далее до тех пор, пока необъясненными останутся переменные, которые задаются извне. Эти переменные, определяемые вне рассматриваемой системы, принято называть экзогенными (внесистемными) в отличие от остальных – эндогенных (внутрисистемных). В итоге приходят к системе уравнений, параметры которых должны быть оценены на основе данных в форме временных рядов.

В качестве простейшего примера такой системы приведем кейнсианскую модель потребления (в принятых в литературе обозначениях):

где Ct – агрегированное потребление; Yt – национальный доход; It – инвестиции в период времени t; a и b – параметры; ut – случайные возмущения, обусловленные действием малозначимых факторов и ошибками измерения (t – индекс наблюдения – здесь расположен снизу). Коэффициент b принято называть склонностью к потреблению. Второе уравнение, не содержащее случайной составляющей, принято называть тождеством.

Наличие связи между переменными и/или возмущениями в разных уравнениях системы приводит к нарушению предпосылок классической регрессии, что требует разработки новых методов оценивания.

193

В зависимости от того, как специфицирована система уравне-

ний, принято выделять системы внешне не связанных уравнений,

иначе псевдонезависимые регрессии (seemingly unrelated regression)

и системы одновременных уравнений (СОУ), иначе синхронные регрессии (simultaneous equations). Однако прежде чем изучать дан-

ные уравнения, целесообразно рассмотреть оценки взаимосвязи временных рядов, поскольку использование обычного корреляционного анализа здесь оказывается проблематичным.

8.1. Коинтегрируемость временных рядов

При расчете коэффициентов автокорреляции предполагается, что временной ряд является стационарным. Аналогично, для пары стационарных эргодических временных рядов yt и xt можно определить ковариацию, называемую также кросс-ковариацией, как covxy (τ) M[(xt M[x])(yt τ M[y])]. Отнормировав ковариации на

стандартные отклонения, получают кросс-корреляции. Ясно, что covxy (τ) covxy ( τ), т.е. ковариация и, соответственно, корреляция

не совпадают, когда один ряд опережает или отстает на τ тактов от другого. Графическое отображение коэффициентов кросс-корреля- ции при положительных и отрицательных τ называют кросс-кор- релограммой. Анализ кросс-коррелограммы может дать полезную информацию о взаимосвязи рядов.

Не умаляя практической полезности корреляционного анализа, следует признать его неполноту и ограниченность. Обеспечение стационарности достигалось в общем случае определенными преобразованиями исходного ряда, как-то вычитанием детерминированной регрессии на время либо взятием разностей, что искажает структурные компоненты ряда.

Рассмотрим проблему оценки взаимосвязи нестационарных рядов класса DS (см. п.7.10.4). Оказывается, что уравнение регрес-

сии yt a0 a1t εt (t – время) для процесса случайного блуждания оказывается значимым (R 2 ≈ 0,44). Оценка дисперсии остатков составляет ≈ 14 % от σε2 . Таким образом, формальное применение стандартной процедуры оценивания указывает на значимый тренд

194

и малую ошибку, хотя в действительности речь идет о случайном процессе с постоянно возрастающей дисперсией. Дальше – больше.

Если взять два независимых случайных блуждания: yt yt 1 εt , xt xt 1 ξt – и построить регрессию yt=a+bxt+ut, то коэффициент

b окажется значимым (!). Выходит, стандартный регрессионный анализ двух DS-процессов говорит об их зависимости, хотя, на самом деле, эта зависимость кажущаяся, мнимая. Как уже обсуждалось, использование для DS-рядов t-статистики некорректно, поскольку нарушена гипотеза о постоянстве дисперсии случайной составляющей ряда.

Тем не менее, возможны ситуации, когда два DS-ряда обнаруживают долгосрочную взаимосвязь, хотя на относительно коротких участках эта связь не проявляется. Рассмотрим два DS-ряда xt и yt первого порядка интеграции I(1). Если их линейная комбинация yt– аxt является стационарной I(0), то такие ряды называются коинтегрируемыми. В этом случае, применяя МНК к уравнению

yt a0 axt ut ,

получают состоятельную оценку аˆ . Выходит, ряды yt и аxt содержат общую нестационарную компоненту (долговременную тенденцию), которую удалось исключить в разности y t – a x t .

8.2. Система одновременных уравнений

Система одновременных уравнений (СОУ) предполагает наличие зависимых переменных у в правых частях уравнений системы, т.е. они являются одновременно и независимыми, и зависимыми. К каким последствиям (в смысле оценивания) это приводит, поясним на примере системы (8.1). Будем считать переменную I экзогенной, Y и С – эндогенными. Заметим, деление переменных на эндогенные и экзогенные условно и определяется содержательной стороной модели. Со статистической точки зрения отличие в переменных связано с тем, что случайные возмущения u заведомо некоррелированы с экзогенными переменными.

Чтобы корректно оценить параметры первого уравнения системы (8.1) обычным МНК, проверим: выполняется ли условие некор-

195

релированности предикторной переменной Yt и возмущения ut, для которого предпосылки классической регрессии полагаются справедливыми.

Выразив Yt через экзогенную переменную Zt:

Сt=a + b Y +ut.

В теории СОУ уравнения вида (8.1), где текущие эндогенные переменные присутствуют по обе стороны знака равенства, принято называть структурными (структурная форма СОУ). Если же система разрешена относительно текущих эндогенных переменных, то говорят о приведенной форме СОУ:

Ct a * b * It ut /(1 b) .

По предположению сov( u t , I t )=0, поэтому применение МНК для определения параметров a*, b* приведенной формы корректно.

Такой способ оценивания структурных коэффициентов с помощью оценок коэффициентов приведенной формы получил название

косвенный метод наименьших квадратов. Можно показать, что

196

несмотря на несмещенность оценок коэффициентов приведенной формы, оценки параметров структурной формы этим свойством не

ложены более обшие методы оценивания, которые рассматриваются ниже в рамках общей линейной модели.

8.2.1. Общая линейная модель СОУ

Общая линейная модель СОУ имеет вид:

a11y1t a12 y2t ... a1m ymt b11x1t ... b1k xkt u1t ;

a21y1t a22 y2t ... a2m ymt b21x1t ... b2k xkt u2t ;

………………………………………….

am1 y1t am2 y2t ... amm ymt bm1x1t ... bmk xkt umt .

Здесь через y1,…,ym обозначены эндогенные переменные; x1,…,xk – так называемые предопределенные переменные, включающие в себя лаговые (прошлые) значения эндогенных переменных, а также текущие и прошлые значения экзогенных переменных; u1,u2 ,...,um – случайные ошибки. Индекс t соответствует номеру

наблюдения t = 1,2,…,N. Предполагается, что предопределенные переменные и случайные компоненты между собой не коррелируют. В матричной форме эта модель имеет вид:

197

Запись (8.2) соответствует структурной форме. Если матрица А невырожденная, то из (8.2) можно получить приведенную форму

Поскольку vt есть линейная комбинация случайных компонент всех структурных уравнений системы (8.2), то из (8.3) видно, что

конкретная эндогенная переменная yit почти наверное содержит в

качестве слагаемого uit и, следовательно, коррелирует с uit (что было продемонстрировано на примере кейнсианской модели (8.1)). Коррелированность yit и uit , i =1,2,…,m, как уже отмечалось, при-

водит к смещенности и несостоятельности оценок МНК отдельного уравнения структурной формы. В то же время приведенная форма допускает состоятельное оценивание, поскольку предопределенные переменные xt по предположению не коррелируют со структурными ошибками ut.

8.2.2. Проблема идентифицируемости

Возможность корректного оценивания коэффициентов приведенной формы и необходимость знания коэффициентов структурной формы приводят к так называемой проблеме идентификации. Оказывается, не всякая спецификация структурных уравнений позволяет получить оценки коэффициентов этих уравнений, причем этот факт будет иметь место вне зависимости от количества наблюдений.

Говорят, что коэффициент структурной формы идентифицируем, если он может быть однозначно восстановлен по коэффициентам приведенной формы. Если все коэффициенты некоторого уравнения структурной формы идентифицируемы, то такое уравнение считается идентифицируемым.

198

c1gij1 c2 gij2 ... ciji giji 0 .

Все эти ограничения можно представить в матричной форме. Введем матрицу ограничений D с числом строк, равным m+k, и числом столбцов l, равным числу ограничений. Пусть, к примеру,

Вектор g1 одновременно должен удовлетворять (8.5) и (8.6), что

К сожалению, воспользоваться этим критерием затруднительно, поскольку матрица П неизвестна. Однако на базе (8.8) можно сформировать ряд необходимых условий идентифицируемости.

Учитывая, что размерность матрицы [WD] равна (m+k)(k+l), имеем, что rank[WD] min (m+k,k+l)= k+l. С учетом (8.8) получаем,

что l (m-1). Итак, число априорных ограничений, накладываемых на коэффициенты структурной формы, должно быть не меньшечисла уравнений системы без единицы.

Доказано [27], что условие (8.8) имеет место тогда и только тогда, когда ранг произведения матриц G и D равен числу уравнений

200