Назаметдинов Анализ данных 2012

Модель (5.1) не позволяет однозначно оценить параметры, поскольку можно добавить к m и вычесть из ai произвольную кон-

станту. Неоднозначность снимается условием репараметризации

N1a1+N2a2+…+Npap=0. (5.2)

Оценивание параметров производится по методу наименьших квадратов (МНК). Для минимизации остаточной суммы квадра-

(Точка на месте индекса означает усреднение по этому индексу.) Результаты измерений принято представлять в виде табл.5.1.

101

В ДА основной интерес представляет не столько сами оценки, сколько их сравнение и, в первую очередь, проверка гипотезы Н0: а1=а2=…=ар=0, означающей одинаковость, неразличимость, воздействий всех р уровней. Со статистической точки зрения задачу ДА можно сформулировать так: для каждой из р генеральных совокупностей получено по выборке объемом Ni и необходимо сопоставить р значений выборочных средних.

связанные с рассеянием между уровнями Sму и рассеянием внутри отдельных уровней Sву:

Подобное разложение получается следующим образом. Обе части тождества

возводят в квадрат и суммируют по i и j:

Последнее слагаемое в правой части формулы (5.4) обращается в нуль в силу выполнения следующей очевидной цепочки равенств:

имеет место проверяемая гипотеза Н0, то каждое из отношений:

102

может служить оценкой дисперсии 2 случайных возмущений. В силу нормальности возмущений отношение sму2 / sву2 имеет F-рас-

пределение. Полученные значения представляют в виде табл. 5.2.

Таблица 5.2

Гипотеза Н0: а1=а2=…=ар=0 отвергается при выбранном уровне надежности (обычно, 95 %), если F р > F Т , где FТ – табличное значение F-распределения при ЧСС числителя и знаменателя p-1 и N-p соответственно. При F р F Т делается вывод, что результаты наблюдений не противоречат гипотезе Н0.

5.2. Двухфакторный ДА

Исследуемая переменная у определяется теперь двумя факторами: A и В с p и q уровнями соответственно. На каждой из p q ком-

где m, ai, bj – параметры, uij – случайная компонента с теми же свойствами, что и в однофакторном ДА. Условий репараметриза-

103

Применяя МНК, находят оценки параметров:

Основная задача двухфакторного ДА – проверка равенства нулю

параметров ai и bj, т.е. проверка гипотез:

НА: а1=а2=…=ар=0 и

НВ: b1=b2=…=bq=0.

Как и в однофакторном ДА, общую сумму квадратов S0 отклонений от общего среднего можно разложить на составляющие – теперь уже три:

j 1

обусловленные изменчивостью между уровнями факторов А и В соответственно, плюс слагаемое

связанное со случайной составляющей (экспериментальная ошибка).

Схема вывода соотношения

104

Сумма квадратов отклонений S0 от общего среднего ~ разлага- y

ется на четыре слагаемых, три из которых – S A , S B , S C – связаны с влиянием факторов, а четвертое SR – остаток, который влиянием факторов объяснить не удалось (ошибка наблюдений):

являются оценками дисперсии σ2. Проверка гипотез проводится по той же схеме, что и в двухфакторном ДА.

Примеры применения ДА даются в п.6.3.

Вопросы и упражнения

1.Поясните происхождение термина «дисперсионный анализ».

2.Какими свойствами обладает случайный компонент?

3.Одинаковы ли объемы выборок в однофакторном ДА?

4. Зачем вводится условие репараметризации?

5.Получите формулу для разложения суммы квадратов в случае двухфакторного ДА.

6.Изменятся ли результаты дисперсионного анализа, если ко всем наблюденным значениям добавить одно и то же число?

7.Повлияет ли на проверку Н0-гипотезы изменение масштаба переменных?

107

6. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

6.1.Планирование эксперимента

сколичественными переменными

Ошибки в определении как коэффициентов регрессии, так и прогнозного значения выходной переменной существенно зависят от дисперсионной матрицы (F′F)-1. В свою очередь, матрица F определяется матрицей наблюдений X, или, как её ещё называют, матрицей планирования. Поэтому при возможности активного вмешательства в проведение работы следует планировать размещение экспериментальных точек так, чтобы при ограниченном числе экспериментов получить оценки коэффициентов регрессии с наименьшей погрешностью. Отсюда следует, что с помощью планирования могут быть снижены затраты времени и средств и повышена эффективность экспериментального исследования.

6.1.1. Основные понятия планирования эксперимента

Выше матрица X определялась как форма представления множества всех наблюденных значений входных переменных или точек проведения экспериментов. Само это множество называют планом и обозначают также через X. Будем предполагать, что область варьирования Ω переменных х ограничена.

Центром x0 (x10 , x20 ,...,xn0 ) плана называют точку, каждая координата которой является средним значением соответствующих

вается центральным, если x0 0 .

В теории планирования эксперимента разрабатываются планы, представленные в некоторой стандартной форме. Обычно рассматривают центральные планы. Границы изменения переменных также стандартизированы, обычно 1 xi 1, i 1,2,...,n . Переход к

стандартизованному масштабу эквивалентен линейному преобразованию переменных:

108

на, под которым понимается совокупность всех точек плана, отличающихся уровнем хотя бы одной из входных переменных. Тогда план X может быть представлен следующим образом:

l j = h j / N , то получают нормированный план.

План, заданный с помощью совокупности величин

i 1

между нулем и единицей, называется непрерывным.

Следует заметить, что всякому дискретному плану X соответствует нормированный, а, следовательно, и непрерывный план L . В то же время, не для всякого N можно найти дискретный план, в котором соотношение частот было бы точно таким, как у непрерывного плана L .

109

Кроме рассмотренных, вводят ещё ряд характеристик плана эксперимента, связанных с видом модели, для оценки коэффициентов которой план используется.

Матрица M F' F размерности (k 1) (k 1) называется ин-

формационной матрицей плана. План Х называется ортогональ-

ным, если его информационная матрица диагональна. План Х называется насыщенным, если r =( k + 1) , сверхнасыщенным, если r < ( k + 1) , и ненасыщенным при r > ( k + 1) . Здесь r – число точек спектра плана, (k+1) − число членов в уравнении регрессии (число коэффициентов регрессии).

6.1.2. Критерии планирования эксперимента

Как уже отмечалось, цель планирования эксперимента состоит в выборе числа и условий проведения экспериментов, обеспечивающих получение наилучшего в определенном плане результата исследования. Конкретизация понятия “наилучший” зависит от особенностей процесса, таких, как вид модели, стоимость отдельного эксперимента, время исследования и т.д., а также целей исследования − получение модели во всей области, либо поиск экстремальных значений выходной переменной. Критерии планирования эксперимента, применяемые в теоретических и практических исследованиях, используют две характеристики, важные при проведении любого экспериментального исследования: во-первых, число экспериментов, т.е. характеристика, влияющая на стоимость и длительность эксперимента, а также на точность результатов (как правило, используются ненасыщенные планы, для которых оказывается возможным проверить адекватность модели); во-вторых, план должен быть таким, чтобы его информационная матрица была невырожденной. Только в этом случае система линейных уравнений, к которой приводит критерий наименьших квадратов, имеет единственное решение.

Все многообразие критериев планирования эксперимента можно разбить на две большие группы. Первую составляют критерии, непосредственно учитывающие точностные свойства получаемых оценок. Среди них можно выделить критерии, связанные с точно-

110