Назаметдинов Анализ данных 2012

вида yt gt ut , содержащие детерминированный тренд gt и ста-

ционарный процесс ut. Говорят, что ряд yt является стационарным

относительно детерминированного тренда gt, иначе TS-рядом

(trend stationary), если ряд y t – g t является стационарным. Рассмотренные выше модели АРСС применялись, по сути дела, к TSпроцессам.

Ко второму типу относят ряды, содержащие стохастический

тренд. Ярким примером такого процесса являются «случайные блуждания» (random walk):

y t = y t - 1 + εt . (7.41)

С использованием оператора сдвига модель (7.41) принимает вид

имеет корень, равный единице, т.е. имеет место пограничный случай, когда корень характеристического уравнения оказался на границе единичной окружности. В то же время, если перейти к первым разностям ut yt yt yt 1 , то процесс ut окажется стацио-

нарным – ut εt . Существуют процессы, для которых стационар-

ными оказываются разности более высокого порядка.

Временной ряд yt называется интегрированным порядка d (обозначается I(d)), если ни сам ряд, ни его разности yt, 2 yt,…,

d 1 yt не являются TS-рядом, тогда как разность d yt порядка d обладает свойством стационарности. Заметим, что I(0) соответствует исходному стационарному ряду.

Интегрированные ряды образуют класс разностно-стацио-

нарных, иначе DS-рядов (differencе stationary).

Пусть нестационарный авторегрессионный оператор aH (B) в модели АРСС имеет один или несколько корней, равных единице,

181

т.е. речь идет о DS-ряде, интегрированном порядка d. Иными словами, aH (B) является нестационарным оператором авторегрессии

порядка p+d; d корней уравнения a H (B )=0 равны единице, а остальные р корней лежат вне единичного круга. Тогда можно записать, что

aH (B) a(B)(1 B)d ,

где a(B) – стационарный оператор авторегрессии порядка р (с корнями λ вне единичного круга).

Используя оператор разности

yt yt yt 1 = (1-B)yt,

нестационарный процесс АРСС порядка d можно записать как

Для разности xt порядка d , т.е. xt d yt , модель

a(B)xt b(B) t

описывает уже стационарный обратимый процесс АРСС(р, q).

Для того чтобы от ряда разностей вернуться к исходному ряду,

требуется оператор S, обратный : S 1 (1 B) 1 B j .

j 0

Этот оператор называют оператором суммирования, поскольку S y t = y t + y t - 1 + y t - 2 + … . Если же исходной является разность порядка d, то для восстановления исходного ряда понадобится d- кратная итерация оператора S, иначе d-кратное суммирование (интегрирование). Поэтому процесс (7.42) принято называть процессом АРИСС либо АРПСС (ARIMA – в англоязычной литературе),

добавляя к АРСС термин интегрированный либо проинтегрированный. Кратко модель (7.42) записывают как АРИСС(р,d,q), где р –

порядок авторегрессии, d – порядок разности, q – порядок скользящего среднего. Ясно, что при d = 0 модель АРИСС переходит в модель АРСС.

На практике d обычно не превышает двух, т.е. d 2.

Модель АРИСС допускает представление, аналогичное общей линейной модели, а также в виде «чистого» процесса авторегрес-

182

сии (бесконечного порядка). Рассмотрим, к примеру, процесс АРИСС (1, 1, 1):

Из (7.43) следует, что

t (1 aB)(1 B) [1 (1 a)B aB2 ] (1 bB b2 B2 ...) yt

1bB

[1 (1 a b)B (b a)(1 b)B2 (b a)(1 b)B3 ...] yt .

Отсюда

yt [a (1 b)] yt 1 (b a)(1 b) yt 2 (b a)(1 b)byt 3 ... εt .(7.44)

Проверка гипотезы о наличии единичного корня

Для проверки гипотезы о наличии единичного корня может быть использован тест Дики−Фуллера (Dickey-Fuller), далее DF-

тест [19]. Рассматриваются простейшее авторегрессионное уравне-

Заметим, что модель (7.45б) при а =1 принято называть моделью случайных блужданий с дрейфом. Расписывая рекуррентное выражение (7.45б) от начального значения у0, получаем выражение

t

yt y0 bt i

i 1

для процесса с линейным трендом и растущей дисперсией.

В DF-тесте проверяются нулевая Н0: а=1 (уравнение содержит

единичный корень – процесс случайных блужданий) и альтернативные гипотезы Н1. Для уравнения (7.45а) Н1: |a|< 1 (ряд стационарный); для уравнения (7.45б) – Н1: |a |<1 и b 0 (процесс АР(1) с

ненулевым постоянным членом); для уравнения (7.45в) Н1 означает авторегрессионный процесс первого порядка АР(1) с ненулевым постоянным членом и детерминированным линейным трендом.

Процедура проверки следующая [19]. По результатам наблюдений методом наименьших квадратов оценивается то или иное урав-

183

нение из (7.45а)–(7.45в) и вычисляется статистика tDF = (aˆ 1) / saˆ ,

которая сравнивается затем с критическими значениями теста Ди- ки–Фуллера (табл. 7.2). Н0 отвергается, если расчетное значение t- статистики меньше критического значения. Заметим, что использование t-статистики здесь некорректно, поскольку при а =1 она не подчиняется распределению Стьюдента.

На практике часто предпочитают работать с рядом разностей, так что гипотезу Н0 формулируют в виде yt εt . Альтернативные гипотезы принимают вид

yt kyt 1 b ct εt ,

Данная статистика оказывается применимой для тестирования гипотезы о неединственности единичного корня. Если Н0-гипотеза не отвергается для первых разностей, то переходят к разностям

второго порядка 2 yt yt yt 1 .

В качестве объясняющей переменной выступает yt 1 . Если по

результатам нового теста Н0 отвергается, то принимается гипотеза о единственности единичного корня. Иначе можно говорить о наличии как минимум двух единичных корней. В этом случае переходят к разностям третьего порядка и так далее.

184

7.11. Прогнозирование по модели АРИСС

Как уже отмечалось, процессы АРИСС допускают представление в виде обобщенной линейной модели (7.16).

Пусть в текущий момент времени t мы хотим найти будущее (прогнозное) значение ряда в момент t+τ (τ>0). Естественно искать его в виде

Ожидаемое значение yt+τ, обозначаемое как yt (τ) , есть

Первая сумма в правой части последнего соотношения содержит лишь будущие возмущения, и для них математическое ожидание равно нулю по определению. Что же касается второго слагаемого, то возмущения здесь уже состоялись, так что

Ошибка прогноза, представляющая расхождение между прогнозным значением и его ожиданием есть

Заметим, что формула (7.47) получена в предположении, что коэффициенты модели (7.16) не содержат ошибок и механизм, порождающий ряд, не изменится к моменту t+τ.

Прогнозирование по соотношению (7.46) затруднительно, поскольку требует знания всех прошлых возмущений. К тому же ско-

185

рость затухания c j часто оказывается недостаточной, не говоря уже о нестационарных процессах, для которых ряды c j расходятся.

Поскольку модель АРИСС допускает и другие представления, рассмотрим возможности их использования для прогнозирования.

Пусть модель задана непосредственно разностным уравнением

yt =a1 yt - 1 +a2 yt - 2 +…+a p + d yt - ( p + d ) –b1 εt 1 –…– bq εt q + εt . (7.48)

εˆ t q , опираясь на рекуррентную формулу (7.48), можно оценить

При прогнозировании на два такта вновь используем рекуррентное соотношение (7.48), где в качестве наблюденного значения ряда в момент t+1 следует взять предсказанную по (7.49) величину

Оценка (7.47) является лишь нижней границей «прогностической силы» модели. На практике стараются набрать некоторую статистику прогнозов. Для этого исходную выборку объема N разбивают на две: рабочую (начальную t = 1,2,…, N1) и контрольную (начальную t = N1+1,. N1+2,…, N). Оценки параметров модели получают по рабочей выборке, оценку точности прогнозов получают по контрольной выборке. Пусть прогноз осуществляется на τ тактов (τ <N – N 1 ). Модель пересчитывается N – N 1 – τ раз. При каждом пересчете объем рабочей выборки прирастает на один такт, либо остается неизменным (выборка при этом сдвигается вправо на такт):

t = 2,3,…, N1+1; t=3,4,…, N1+2;…; t = τ , τ +1,…,N–τ+1.

Для оценки точности прогнозов используется в основном среднее значение суммы квадратов отклонений прогнозных значений ряда от фактических.

186

7.12.Технология построения моделей АРИСС

Описанные выше теоретические схемы строились в предположении, что временной ряд имеет бесконечную предысторию, тогда как реально исследователю доступен ограниченный объем наблюдений. Поэтому с позиций практического применения теории анализа временных рядов определяющее значение имеют вопросы корректной спецификации модели АРИСС( p , d , q ) (ее идентификации) и последующего оценивания ее параметров.

Идентификация модели

Цель идентификации – получить некоторое представление о величинах p, d, q и о параметрах модели. Идентификация модели распадается на две стадии:

1.Определение порядка разности d исходного ряда yt .

2.Идентификация модели АРСС для ряда разностей d yt .

Основной инструмент, используемый на обеих стадиях – автокорреляционная и частная автокорреляционная функции. Если автокорреляционная функция затухает медленно и почти линейно, то это свидетельствует о нестационарности процесса. В этом случае от исходного ряда переходят к разностям. Считается, что порядок разности d, обеспечивающий стационарность, достигнут тогда, ко-

гда автокорреляционная функция процесса ut d yt падает до-

вольно быстро. На практике обычно d <3 .

После того как будет получен стационарный ряд разностей порядка d, изучают общий вид автокорреляционной и частной автокорреляционной функций этих разностей. Опираясь на теоретические свойства этих функций можно выбрать значения p и q для АР и СС операторов.

Далее при выбранных p и q строятся начальные оценки параметров авторегрессии a =( a 1 , a 2 , … , a p ) и скользящего среднего b =(b 1 ,b 2 ,… , b q ). Для авторегрессионных процессов используются уравнения Юла−Уокера, где теоретические автокорреляции заменены на их выборочные оценки. Для процессов скользящего среднего порядка q только первые q автокорреляций отличны от нуля (см.7.37). Заменяя ri их выборочными оценками rˆ и решая

187

получающиеся уравнения относительно b1,b2 ,...,bq , получим оцен-

ˆ

ку b . Эти предварительные оценки можно использовать как начальные значения для получения на следующих шагах более эффективных оценок.

Для смешанных процессов АРСС процедура оценивания услож-

няется. Так, для рассмотренного процесса АРСС(1,1) параметры a1 и b1, точнее их оценки, получаются из (7.40) с заменой r1 и r2 их

выборочными оценками.

В общем случае вычисление начальных оценок процесса АРСС(p,q) представляет многостадийную процедуру. Отметим только, что для практики особый интерес имеют АР и СС процессы 1-го и 2-го порядков и простейший смешанный процесс АРСС(1,1).

Об адекватности оцененной модели судят по остаткам, которые согласно предпосылкам при больших N являются белым шумом.

Заметим, что оценки автокорреляций, на основе которых строятся процедуры идентификации, могут иметь большие дисперсии (особенно в условиях недостаточного объема выборки – несколько десятков наблюдений) и быть сильно коррелированны. Поэтому говорить о строгом соответствии теоретической и эмпирической автокорреляционных функций не приходится. Это приводит к затруднениям при выборе p, d, q, поэтому для дальнейшего исследования могут быть выбраны несколько моделей.

Для сравнения моделей между собой предложен ряд критериев. Наибольшее распространение получили два из них: информацион-

ный критерий Акаике (AIC) и байесовский информационный критерий Шварца (SBIC). Оба критерия представляют сумму двух сла-

гаемых, первое из которых зависит от остаточной суммы квадратов

sˆ 2 , второе – моделирует штраф за уменьшение числа степеней свободы из-за включения в модель дополнительных параметров:

AIC ln sˆ2 2 p q ; SBIC ln sˆ2 ln N p q .

N N

Критерий Шварца в отличие от критерия Акаике обеспечивает состоятельность оценок, но проигрывает последнему с точки зрения их эффективности.

188

Проверка ut на гетероскедастичность производится следующим образом: оценивается регрессия

ut2 b0 b1 ut2 1 ... bput2 p vt ,

с последующим тестированием гипотезы H0: b0=b1=…bp=0. Дальнейшим обобщением является обобщенная авторегресси-

онная условно гетероскедастичная модель порядка (p,q) – обозна-

Для оценки ARCH/GARCH-моделей используется метод максимального правдоподобия.

Вопросы и упражнения.

1.Какое свойство является определяющим в дефиниции временного ряда?

2.В чем состоит различие между моментными и интервальными временными рядами?

3.Какие типы рядов рассматриваются в данном пособии?

4.Какие научные дисциплины занимаются изучением процессов, протекающих во времени?

5.Какую модель тренда следует использовать, если постоянным сохраняется: а) абсолютный прирост исследуемой переменной; б) относительный прирост?

6.Какая гипотеза относительно поведения ряда лежит в основе логистической кривой?

7.Чем чревато использование высоких степеней в полиномиальных моделях тренда?

8.Гауссовский случайный процесс сгладили методом скользящего среднего с шириной окна, равной 7. Тот же процесс сгладили

190