Решение

Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q₁ зависит от линейной плотности заряда τ на стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ.

При вычислении силы следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применять нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне малый участок dr с зарядом dQ=τdr (см рисунок).

Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

.

Интегрируя это выражение в пределах от a до a+l , получаем

,

откуда

.

Произведём вычисления:

.

Пример 3. Два точечных электрических заряда Q₁=1нКл и Q₂=-2нКл находятся в воздухе на расстоянии d =10 см друг от друга. Определить напряжённость Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от заряда Q₁ на расстоянии r₁= 9 см и от заряда Q₂ на r₂= 7 см.

Решение

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Напряжённость электростати- ческого поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряжённостей и полей, создава- емых каждым зарядом в отдельности: .

Напряжённости электростатического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядами Q₁ и Q₂,

, (1)

. (2)

Вектор направлен по силовой линии от заряда Q_1, так как этот заряд положителен, вектор направлен также по силовой линии, но к заряду Q₂, так как этот заряд отрицателен.

Модуль вектора найдём по теореме косинусов:

, (3)

где α – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d

.

Подставляя выражение Е₁ из (1) и Е₂ из (2) в (3), получим

. (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электри- ческих полей потенциал φ результирующего поля, равен алгебраической сумме потенциалов

. (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

. (6)

Согласно формулам (5) и (6) получим

,

или

.

Произведём вычисления:

Е = 3,58 В/м, φ = - 157 В.

Пример 4. Электрическое поле создано двумя парал- лельными бесконечными заряженными плоскостями с поверх- ностными плотностями заряда σ₁=0,4мкКл/м² и σ₂=0,1мкКл/м². Определить напряжённость электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.

Решение

Согласно принципа супер- позиции электростатических полей,

,

где, - напряженности электростатиче- ских полей, создаваемых первой и второй плоскостями соответст- венно.

Плоскости делят всё прост- ранство на три области: I, II, III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и следовательно, напряжённости суммарных полей Е^(I) и Е^(III) в первой и третьей областях равны между собой, противо- положно направлены и равны сумме напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями:

или

.

Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряжённость поля Е^(II) равна разности напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: , или

.

Подставив данные и произведя вычисления, получим

, .

Пример 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁=6 см и R₂=10 см несут соответственно заряды Q₁ = 1 нКл и Q₂ = -0,5 нКл. Найти напряжённость Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁ =5 см, r₂ =9 см , r₃ = 15 см. Построить график Е(r).

Рис.1