1.5.3. Работа и мощность при вращательном движении

Изменение кинетической энергии механической системы равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему

dT = dAвнеш + dAвнутр . (1.55)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси элементарная работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна приращению только кинетической энергии, так как его потенциальная энергия при этом не меняется. Следовательно

.

С учетом того, что I_z d = M_z dt , получим

dA = M_z  dt = M_z d . (1.56)

Полная работа внешних сил при повороте твердого тела на некий угол  равна:

. (1.57)

В случае, если M_z=const, то последнее выражение упрощается:

A = M_z  . (1.58)

Таким образом, работа внешних сил при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента M_z этих сил относительно данной оси.

При вращательном движении твердого тела относительно неподвижной оси мощность определяется выражением

. (1.59)

Примеры решения задач на работу и мощность

Пример 1. Потенциальная энергия частицы имеет вид

, где а – константа. Найти: а) силу , действую- щую на частицу; б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при её перемещении из точки М(1,1,1,) в точку N(2,2,3).

Решение

Используя выражение, связывающее потенциальную энергию частицы с силой, действующей на неё, получим

.

Работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии

.

По известным координатам точек M и N находим

, , .

Пример 2. Частица совершает перемещение в плоско- сти ХУ из точки с координатами (1,2) м в точку с координатами (2,3) м под действием силы Н. Определить работу данной силы.

Решение

Элементарная работа, совершаемая силой при перемещении , равна скалярному произведению этих векторов

.

Работа при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 определится интегрированием

.

Подставляя числовые значения, получим

.

Пример 3. Тело массой m=1,0 кг падает с высоты h=20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести на пути h, и мгновен- ную мощность на высоте h/2.

Решение

Средняя мощность N_ср, развиваемая силой тяжести на пути h, определяется выражением

Запишем выражение координаты y(t) тела от времени при свободном падении с высоты h с нулевой начальной скоростью:

,

где g – ускорение свободного падения.

Полное время t падения тела с высоты h определим из этого выражения при условии y = 0: , откуда

Среднее значение скорости равно

,

тогда

.

Мгновенная мощность, развиваемая силой тяжести на высоте h/2, равна

Расстояние, пройденное телом за промежуток времени t₁, равно

,

откуда

Мгновенная скорость υ₁ тела на высоте h/2 , равна

Тогда

Выполняя вычисления, получим

Пример 4. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением , где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = -4 рад/с². Найти среднюю мощность , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если момент инерции I = 100 кг·м^2.