2.3. Распределение молекул по скоростям

В газе, находящемся в состоянии равновесия, устанав- ливается некоторое стационарное распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону.

Пусть скорости dN молекул попадают в интервал от  до +d. Относительное число молекул, скорости которых лежат в указанном интервале, отнесённое к ширине интервала d, называется функцией распределения молекул по скоростям

. (2.9)

Функция распределения молекул газа по скоростям была получена Максвеллом и имеет следующий вид:

. (2.10)

Здесь m₀ - масса отдельной молекулы, k – постоянная Больцмана, T – температура. Тогда число молекул, скорости которых заключены в пределах от  до +d, определяется выражением

, (2.11)

где N – общее число молекул.

График функции представлен на рис. 2.1.

Площадь заштрихованного участка равна доле молекул, скорости которых лежат в интервале от  до +d. Просуммировав доли молекул, во всем интервале скоростей, получим единицу. Это означает, что площадь, ограниченная функцией и осью абсцисс, равна единице

. (2.12)

Выражение (2.12) представляет собой условие нормировки функции распределения молекул по скоростям.

Конкретный вид функции зависит от рода газа и от температуры. С повышением температуры максимум функции смещается вправо (рис.2.2). Площадь же, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому с повышением темпера- туры кривая растягивается и понижается.

Рис. 2.2

С ростом температуры увеличивается доля молекул, имеющих большую скорость. Скорость, при которой функция достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Этой и близкой к ней скоростью обладает наибольшее число молекул. Значение наиболее вероятной скорости можно найти из условия .

, (2.13)

где m₀ - масса молекулы, М - молярная масса.

Наряду с наиболее вероятной скоростью в молекуляр- но - кинетической теории пользуются понятием средней арифметической и средней квадратичной скорости:

, (2.14)

. (2.15)

Значение средней квадратичной скорости, рассчитан- ной по закону Максвелла, совпадает с ранее полученным выражением (2.8).

2.4. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Молекулы любого газа находятся в поле тяготения Земли. Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они упали бы на Землю. Если бы не было тяготения, то атмосферный воздух рассеялся бы во Вселенной. Тяготение и тепловое движение приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Зависимость давления от высоты выражается формулой:

, (2.16)

где p и p₀ – давление газа на высотах h и h₀=0; M – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная; T – температура.

Используя (2.16) можно получить формулу для опреде- ления высоты по показаниям барометра

. (2.17)

Эту формулу называют барометрической. Высоты обычно определяются относительно уровня моря, где давление считается нормальным.

Уравнение (2.16) с учетом соотношения можно записать в форме

. (2.18)

Заменив и вводя потенциальную энергию молекулы в поле тяготения Земли , получим закон распределе- ния Больцмана

. (2.19)

Из закона распределения Больцмана следует, что при постоянной температуре концентрация газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Закон Больцмана носит универсальный характер, он справедлив в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.