Решение
На шар действует
сила тяжести
,
сила реакции
и
сила трения
.
Последняя является силой трения покоя,
которая и создает вращающий момент
относительно мгновен- ной оси, проходящей
через центр инерции. Под действием этих
сил шар участвует в двух движениях
(поступательном и вращательном), уравнения
которых имеют следующий вид
,
(1)
,
(2)
где а
– ускорение центра масс шара,
- момент инерции шара относительно его
центра масс,
-
угловое ускорение.
Учитывая,
что
,
и
,
преобразуем уравнение (2) к виду
. (3)
Решая уравнения (1) и (3) совместно, получим
. (4)
1.5. Механическая энергия, работа и мощность
Энергией называется скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и типов взаимодействия материальных объектов. Механическая энергия зависит от относительного расположения взаимо- действующих тел и скорости их движения. Изменение механической энергии тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Для количественного описания процесса обмена энергией между взаимодействующими телами в механике вводят понятие работы.
1.5.1 Механическая работа и мощность при поступательном движении
Элементарная работа силы
,
на малом перемещении
,
определяется скалярным произведением
dA =
=
FdS cos
= F
dS
, (1.43)
где
, F
= Fcos
- проекция силы на направление
перемещения
,
- угол между
векторами
и
.
Выражение (1.43) можно представить в проекциях на координатные оси:
,
(1.44)
Работа, совершаемая силой на конечном участке траектории точки ее приложения, равна алгебраической сумме работ на всех малых частях этого участка, т.е. выражается криволинейным интегралом
.
(1.45)
Для вычисления этого интеграла необходимо знать зависи- мость F от S вдоль данной траектории L. Если эта зависимость представляется графически (рис.1.11), то работа измеряется заштрихованной на данном рисунке площадью.
Рис.1.11
Силы, совершающие работу, принято подразделять на консервативные (потенциальные) и неконсервативные (дисси- пативные). Силы являются консервативными, если их работа не зависит от пути, по которому тело переходит из одного положения в другое, а полностью определяется начальным и конечным положением тела. Соответственно, работа консерва- тивных сил вдоль любой замкнутой траектории L равна нулю, т.е.
.
(1.46)
Все силы, не удовлетворяющие этому условию, называют неконсервативными. К числу неконсервативных сил относятся, например, силы трения и сопротивления.
Для характеристики работы, совершаемой за единицу времени, в механике пользуются понятием мощности.
Мощностью называется скалярная физическая величина, равная отношению элементарной работы dА к тому промежут- ку времени dt, в течение которого эта работа совершается
.
(1.47)
При поступательном движении твердого тела
.
.
(1.48)