Примеры решения задач на механику жидкостей

Пример 1. Водомер представляет собой горизонталь- ную трубу переменного сечения, в которую впаяны две вертикальные манометрические трубки одинакового сечения (см. рис.). По трубе протекает вода. Пренебрегая вязкостью воды, определить её массовый расход, если разность уровней в манометрических трубках Δh = 8 см, а сечение трубы у основа- ний манометрических трубок соответственно равны S₁= 6 cм² и S₂ = 12 cм². Плотность воды ρ = 1 г/см³.

Решение

Массовый расход воды – это масса воды, протекающая через сечение трубы за единицу времени,

, (1)

где ρ – плотность воды, υ₂ – скорость течения воды в месте сечения S₂.

При стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости выполняются уравнение неразрывности

, (2)

и уравнение Бернулли для горизонтальной трубы (h₁=h₂)

, (3)

где p₂ и p₂ – статические давления в сечениях манометри- ческих трубок, υ₁ и υ₂ – скорости течения воды в местах сечения S₁ и S₂. Учитывая что

,

И решая систему уравнений (2) и (3), получим

.

Подставляя это выражение в уравнение (1), найдём массовый расход воды:

.

Вычисляя, получим Q = 0,868 кг/с.

Пример 2. Стальной шарик (плотность ρ₁=9г/см³) падает с постоянной скоростью в сосуде с глицерином (ρ₂=1.26 г/см³, динамическая вязкость η = 1,48 Па·с). Определить предельный диаметр шарика, считая, что число Рейнольдса .

Решение

При установившемся движении шарика в жидкости (υ= const) сила тяжести шарика mg уравновешивается суммой выталкивающей силы F_A и силы внутреннего трения F:

или , (1)

где V – объём шарика. Подставив в уравнение (1) и решив его относительно υ, получим

.

Для шара небольшого радиуса, движущегося в вязкой жидкости, число Рейнольдса , откуда

.

Вычисляя, получим d_max= 5,91мм.

1.9. Основы релятивистской механики

Релятивистская механика или специальная теория относительности - это механика тел, движущихся со скоро- стями сравнимыми со скоростью света. Она значительно сложнее и в гораздо меньшей степени согласуется с нашим здравым смыслом, поскольку опыта с такими движениями человек в повседневной практике не имеет. Создание Эйнштейном в 1905г. специальной теории относительности привело к пересмотру многих представлений классической физики и главным образом представлений о свойствах пространства и времени.

Начнем этот раздел с краткого обзора ньютоновских представлений о пространстве и времени, лежащих в основе классической механики.

1. 9.1. Преобразования координат и принцип относительности Галилея

Согласно представлениям Ньютона пространство и время являются абсолютными, т.е. независящими как друг от друга, так и от присутствующих в пространстве тел. Пространство и время одинаково для всех систем отсчета.

Рис.1.17

В классической механике пространство считается одно- родным, изотропным, трехмерным и подчиняющимся евклидовой геометрии, т.е. не является искривленным. Фундаментальным свойством времени является его одно- направленность и равномерность течения в разных системах отсчета.

Из этих представлений вытекают преобразования координат Галилея, выражаю- щие пространственно-времен- ную связь любого события в разных инерциальных системах отсчета.

Рассмотрим две инерци- альные системы отсчета. Допустим, что система движется относительно системы поступательно с постоян- ной скоростью , параллельной оси (рис.1.17). Для простоты будем полагать, что координатные оси систем соответственно параллельны и что в начальный момент времени начала координат обеих систем совпадают. Тогда координаты и время в этих системах будут связаны друг с другом соотношениями

(1.87)

или в проекциях на оси

(1.88)

Эти соотношения называются преобразованиями координат Галилея. С точки зрения житейского опыта, преобразования Галилея кажутся вполне очевидными. Но всегда ли этот опыт достаточен для доказательства истины? Обсудим это в следующих главах.

Из преобразований Галилея непосредственно вытекает классический закон сложения скоростей

или . (1.89)

Дифференцирование по времени уравнения (1.89), с учетом постоянства , дает

. (1.90)

Полученный результат означает, что ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

Не меняется при переходе из одной инерциальной системы в другую и сила . Это следует из того, что сила зависит от расстояния между взаимодействующими материальными точками, а эти расстояния, как это следует из преобразований Галилея, одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Масса также предполагается величиной постоянной, не зависящей от ее положения и скорости ( ). Следовательно, второй закон Ньютона имеет один и тот же вид в различных инерциальных системах отсчета

и . (1.91)

Такая закономерность справедлива и для других законов механики. Таким образом, все законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, иначе говоря, инвариантны относительно преобразований Галилея. Это утверждение составляет содержание принципа относитель- ности Галилея. Из этого принципа следует полное равно- правие всех инерциальных систем отсчета и его можно также сформулировать следующим образом: никакими механиче- скими опытами, проведенными в пределах инерциальной системы отсчета, нельзя установить, находится ли она в покое или движется равномерно и прямолинейно. На основе законов механики нельзя выделить из множества инерциальных систем какую-то главную систему отсчета, которая обладала бы какими-либо преимуществами перед другими.