Решение

Для решения задачи удобно воспользоваться распределе- нием молекул по относительным скоростям u:

где Так как часть молекул обладает скоростями превышающими v_в, а часть меньшими, чем ν_в, то

Наиболее вероятная скорость при Т = 900 К

Отсюда

Пример 6. На какой высоте давление воздуха составляет 60 % от давления на уровне моря? Считать температуру воздуха везде одинаковой и равной 10^О С.

Решение

Зависимость давления от высоты имеет вид:

На уровне моря h₀=0, поэтому

Прологарифмируем обе части

Отсюда,

Пример 7. Найти среднюю продолжительность свободного пробега молекул кислорода при температуре Т=250 К и давлении P =100 Па.

Решение

Средняя продолжительность свободного пробега молекул – величина, обратная среднему числу столкновений, происходящих за 1 секунду:

Так как то

.

Здесь n – концентрация молекул кислорода, - средняя арифметическая скорость молекул кислорода.

Из уравнения состояния идеального газа

тогда

Эффективный диаметр молекул кислорода (величина справочная) d = 0,36 нм = . После подстановки числовых значений получим

3. Термодинамика

Термодинамика изучает общие свойства макроскопи- ческих систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями.

3.1. Внутренняя энергия идеального газа. Равномерное распределение энергии по степеням свободы молекул

Внутренняя энергия системы - энергия, зависящая только от её внутреннего состояния; она складывается из кинетической энергии хаотического движения атомов или молекул, потенциальной энергии межмолекулярных взаимо- действий и энергии внутриатомных движений и взаимодей- ствий. Поскольку в модели идеального газа потенциаль- ная энергия межмолекулярных взаимодействий полагается равной нулю, то внутренняя энергия идеального газа определя- ется кинетической энергией теплового движения его молекул. В свою очередь энергия теплового движения молекул зависит от числа степеней свободы.

Числом степеней свободы тела называется число независимых координат, полностью определяющих положение тела в пространстве. Если одноатомную молекулу рассмат- ривать как материальную точку, то для описания её положения в пространстве достаточно трёх независимых координат. Следовательно, одноатомная молекула имеет три степени свободы. Двухатомная молекула с жёсткой связью между атомами имеет пять степеней свободы. Три из них определяют поступательное движение молекулы, две - вращательное. Если в молекуле три (и более) атома, связанных жёсткой связью, то число степеней свободы равно 6. Во многих случаях необходи- мо принимать во внимание возможность относительных смещений атомов в молекуле, т.е. вводить в рассмотрение колебательные степени свободы молекул.

Согласно закону Больцмана о равномерном распределе- нии энергии по степеням свободы молекул все степени свободы равноправны и вносят одинаковый вклад в ее сред- нюю энергию. Учитывая, что средняя энергия поступатель- ного движения одноатомной молекулы по формуле (2.7), равна

,

получим кинетическую энергию, приходящуюся на одну степень свободы

. (3.1)

Если молекула имеет ί степеней свободы, то ее средняя кинетическая энергия

, (3.2)

где .

Колебательная степень обладает вдвое большей энергией поскольку на нее приходится не только кинетическая энергия, но и потенциальная, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы.

С учетом (3.2), внутренняя энергия одного моля идеаль- ного газа равна

, (3.3)

а произвольной массы газа

. (3.4)

Таким образом, внутренняя энергия идеального газа зависит от числа степеней свободы молекул и абсолютной температуры. Внутренняя энергия – однозначная функция состояния системы, она не зависит от пути перехода в данное состояние.

Изменение внутренней энергии газа связано с изменением температуры

. (3.5)