Примеры решения задач по термодинамике

Пример 1. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т=350К, а также кинетическую энергию Е_к враща- тельного движения всех молекул кислорода массой m = 4г.

Решение

На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия , где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы соответ- ствуют две степени свободы, то средняя энергия вращатель- ного движения молекулы кислорода равна

. (1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

(2)

Число всех молекул газа

, (3)

где N_A – постоянная Авогадро; ν – количество вещества.

Если учесть, что количество вещества , где m – масса вещества; М – молярная масса газа, то формула (3) примет вид

.

Подставив выражение для N в выражение (2), получим

. (4)

Учитывая, что для кислорода М = 32·10^-3кг/моль, после подстановки числовых значений, получим:

; .

Пример 2. Определить отношение удельных теплоём- костей  для смеси газов, содержащей гелий массой m₁=8 г и водород массой m₂ = 2 г.

Решение

Для нагревания смеси газов массой на T при постоянном объёме ей необходимо сообщить количество теплоты где - удельная теплоёмкость смеси.

Часть этого количества теплоты, пойдёт на нагревание гелия, другая часть - на нагревание водорода. Тогда

,

Отсюда

.

Аналогично находим с_р смеси:

.

Здесь , и , - удельные теплоёмкости гелия и водорода соответственно:

Так как гелий – газ одноатомный, то i₁=3, водород – газ двухатомный, следовательно, i₂=5.

Отношение удельных теплоёмкостей:

Подставляя выражение для удельных теплоёмкостей, получим:

.

Пример 3. Кислород массой m =2кг занимает объём V₁=1м³ и находится под давлением P₁ = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объёма V₂ = 3 м³, а затем при постоянном объёме до давления P₃ = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершённую им работу и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

Решение

Изменение внутренней энергии газа

, (1)

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i =5); - разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдём из уравнения Менделеева – Клапейрона , откуда

, , .

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме равна нулю:

A₂ = 0.

Следовательно полная работа , совершаемая газом равна

А = А₁+А₂ = А₁.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q передаваемая газу, равна сумме изменения внутренней энергии и работы А:

Произведём вычисления, учтя, что для кислорода

M=32·10^-3кг/моль, получим

; ; .

;

График процесса представлен на рисунке.

Пример 4. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т₁ = 300К. Водород сначала расширялся адиабатно, увеличив свой объём в n₁=5 раз, а затем был сжат изотермически, причём объём газа уменьшился в n₂ =5 раз. Найти температуру в конце адиабати- ческого расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.