4.9. Энергия электрического поля

Потенциальную энергию взаимодействия двух зарядов можно выразить через потенциалы полей этих зарядов

, (4.47)

где ₁ – потенциал, создаваемый вторым зарядом в точке расположения первого заряда; ₂ – потенциал, создаваемый первым зарядом в точке расположения второго.

Энергия взаимодействия точечных зарядов, в силу её аддитивности, равна сумме энергий каждой пары зарядов и определяется выражением

, (4.48)

где _I - потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме q_{i ,} в точке нахождения заряда q_{i .}

Используя формулу (4.48), определим энергию заряжен- ного проводника и конденсатора. Так как проводник является эквипотенциальным, то

. (4.49)

С учётом (4.40) можно получить и другие выражения для энергии заряженного проводника

. (4.50)

Аналогичным образом, для энергии заряженного конденсатора в соответствии с (4.48) будем иметь

,

а, следовательно, и другие выражения

. (4.51)

Электрическая энергия, определяемая формулой (4.51), может рассматриваться как энергия электростатического поля, существующего в конденсаторе. Поэтому есть смысл выразить эту энергию через напряжённость , характеризующую это поле. На основании соотношений

и ,

получим

Поскольку поле плоского конденсатора однородно, то его объёмная плотность энергии определяется следующими выражениями

. (4.52)

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно путём интегрирования найти энергию поля, заключённого в любом объёме V:

. (4.53)

Примеры решения задач по электростатике

Пример 1. Три одинаковых положительных заряда нКл расположены в вершинах равносторон- него треугольника. Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Решение

Все три заряда, расположенные в вершинах треуголь- ника, находятся в одинаковых условиях, поэтому достаточно рассмотреть условие равновесия одного из трех зарядов, например .

В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

, (1)

где , , – силы, с которыми соответственно действуют на заряд заряды , и ; – равнодействующая сил и .

Так как силы и направлены по одной прямой, то вектор- ное равенство (1) можно заменить скалярной суммой:

или .

Выразив F через и и учитывая, что = , получим

.

Применяя закон Кулона и имея в виду, что , найдем

,

откуда

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

, .

С учетом этого формула (2) примет вид

.

После подстановки числовых значений получим

нКл.

Пример 2. На тонком стержне длиной l =20 находится равномерно распределённый электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a =10cм от ближай- шего конца находится точечный заряд Q₁ = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.