6.2. Спектр и законы излучения абсолютно чёрного тела

Модель абсолютно чёрного тела позволяет эксперимен- тально изучать распределение энергии в спектре этого излучения. Для этого необходимо стенки полости поддерживать при некоторой постоянной температуре и исследовать излучение через малое отверстие. Разлагая это излучение в спектр и измеряя интенсивность различных участков спектра, можно получить экспериментальные кривые при различных температурах (рис.6.2). Анализ кривых зависи-ости излучательной способности чёрного тела от температуры, позволил установить следующие законы теплового излучения.

r*λT

Рис.6.1 Рис.6.2

Закон Стефана-Больцмана. Энергетическая свети- мость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры:

R^* = T⁴, (6.6)

где  = 5,67 ^. 10^-8 Вт/м ²К ⁴ – постоянная Стефана-Больцмана.

Этот закон установлен экспериментально Стефаном, считавшим что он справедлив для любых тел, и выведен теоретически Больцманом, доказавшим его применимость только для абсолютно черного тела.

Закон смещения Вина (1 закон Вина). Длина волны, на которую приходится максимума испускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорцио- нальна его абсолютной температуре:

_max = b /T, (6.7)

где b = 2,9^. 10^-3 м ^.К – постоянная смещения Вина, _max – длина волны, на которую приходится максимум испускатель- ной способности (рис.6.2).

2 закон Вина. Максимум испускательной способно- сти абсолютно черного тела пропорционален пятой степени его абсолютной температуры:

r^* _max =C T⁵, (6.8)

где С = 1,3 ^. 10^-5 Вт/(м³ К⁵) – постоянная Вина.

Следует отметить, что закон Стефана-Больцмана и законы Вина определяют энергетическую светимость, положение и высоту максимума испускательной способности, но не дают зависимость r_,T. Попытка определить вид этой функции была предпринята Рэлеем и Джинсом. Они рассматривали излучение, как набор стоячих волн, энергия которых определяется классической статистикой, и в результате получили следующее соотношение

r_,T = 8 k T  ^-4, (6.9)

называемое формулой Рэлея-Джинса. Эта функция правильно описывает поведение r_,T в длинноволновой области спектра, но при 0 стремится к  (на рис.6.2 это показано пунктиром).

Несовпадение экспериментальных и теоретических результатов получило название «ультрафиолетовой катастро- фы», так как правильное, корректное использование класси- ческих представлений приводит к абсурду и не позволяет получить выражение для испускательной способности абсолютно чёрного тела.

Правильное выражение для функции Кирхгофа было получено в 1900 г. Планком на основе предположения, что свет излучается отдельными порциями энергии (квантами или фотонами), величина которых пропорциональна частоте излучения:

E = h = ħ, (6.10)

где h = 6,63 ^. 10^-34 Дж ^. с, ħ = h/(2).

Планк получил следующее выражение

(6.11)

которое называется формулой Планка для теплового излучения и правильно описывает спектр излучения абсолютно черного тела во всём интервале длин волн.

Определяя через интеграл от , можно получить пропорциональность четвертой степени температуры, причем рассчитанный коэффициент пропорциональности совпадает с постоянной Стефана-Больцмана. Если найти максимум функции , приравняв ее производную нулю, то получится соотношение между _max и T, совпадающее с законом смещения Вина, а подставив это соотношение в формулу Планка можно получить второй закон Вина.

Таким образом, формула Планка правильно описывает испускательную способность абсолютно черного тела и позволяет получить законы теплового излучения. Зная же характеристики излучения абсолютно черного тела, можно определить излучение любого другого тела.