Решение
Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением
.
В нашем случае вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки Bn=B. Магнитная индукция B, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой
,
г
dS=ldxx
де х – расстояние от провода до точки, в которой определя- ется B.
Для вычисления магнит- ного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то
dФ=В(х)dS.
Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (см. рис.). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние x) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде
.
Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x1= a до x2 = 2a, найдём
.
Подставив пределы, получим
.
Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб):
[μ0][I][l] = 1Гн/м·1А·1м = 1 Вб.
Произведя вычисления, найдём Ф = 4,5 мкВб.
Пример 8. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100А, свободно устано- вился в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол 90˚.
Решение
I
На контур с током в магнитном поле
действует момент силы
,
где
–
магнитный момент контура; α
– угол между векторами
(направлен по направлению положи- тельной
нормали к контуру) и
.
По условию
задачи в начальном положении контур
свободно установился в магнитном поле,
т.е. М=0, а значит векторы
и
сонаправлены (α=0).
Если внешние силы выведут контур из
положения равновесия, то возникший
момент сил будет стремиться возвратить
контур в исходное положение. В силу
зависимости М от угля поворота α,
для подсчета работы внешних сил
воспользуемся методом интегрирования.
Элементарная работа равна
dA= Mdα = IBa2sin α dα.
Взяв интеграл
от этого выражения, найдем работу при
повороте контура на конечный угол
:
.
(1)
Производя расчет в единицах СИ, получим
А = 100·1·0,12 Дж =1 Дж.
Задачу можно решить и другими способами:
1) Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:
где Ф1 – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения, Ф2 – то же, после перемещения.
Если
,
то Ф1=ВS,
Ф2=0. Следовательно,
А = IBS = IBa2,
что совпадает с выражением (1).
2) Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле.
Тогда работа внешних сил
А=ΔWп = W2 - W1,
или
Так как рm= Ia2, cosα1=1 и cosα2=0, то
A=IBa2,
что также совпадает с выражением (1)