2.4. Взаимная индукция

Взаимной индукцией называется возникновение ЭДС индукции в одном контуре при изменении тока в другом, если они расположены в непосредственной близости друг от друга (рис.2.4).

Рис.2.4

Очевидно, что магнитный поток, создаваемый в контуре 1 током, текущим в контуре 2, пропорционален току в контуре 2:

. (2.16)

Аналогично, ток I₁ создаёт через контур 2 магнитный поток

(2.17)

Коэффициенты пропорциональности называются коэффициентами взаимной индукции. Они зависят от геометрии обоих контуров и их взаимного расположения, а также от магнитной проницаемости среды. Можно доказать, что при отсутствии ферромагнетиков L₁₂ = L₂₁ .

Рассчитаем взаимную индукцию двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник.

Если по первой катушке идёт ток I₁, то то магнитная индукция поля и магнитный поток этого тока в сердечнике тороида можно найти по формулам

, (2.18)

, (2.19)

где l – длина средней линии тороида, N₁ – число витков первой катушки, S – площадь сердечника.

Полный магнитный поток через вторичную обмотку, содержа- щую N₂ витков

. (2.20)

Согласно (2.17)

. (2.21)

Если µ не зависит от силы тока, то

. (2.22)

На явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов, служащих для повышения или понижения напряжения переменного тока.

Концы первичной обмотки трансформатора присоединяются к источнику переменного напряжения с ЭДС ξ₁. Возникающий переменный ток создаёт в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление ЭДС взаимной индукции, а в первичной ЭДС самоиндукции.

По закону Ома для первичной обмотки

. (2.23)

Пренебрегая падением напряжения на сопротивлении R₁, приближённо имеем

. (2.24)

ЭДС взаимной индукции во вторичной обмотке

. (2.25)

Из сопоставления выражений (2.24) и (2.25), получим

, (2.26)

где знак минус показывает, что ЭДС в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе.

Отношение , называется коэффициентом трансформации. Если κ >1, то трансформатор называется повышающим, если κ<1 – понижающий.

2.5. Энергия магнитного поля

Рассмотрим цепь, изображенную на рис.2.2. В положе- нии 1 ключа К в катушке установится ток, который обусловит магнитное поле. Если перебросить ключ в положение 2, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в катушке ЭДС самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна

(2.27)

Если индуктивность соленоида L=const, то

и . (2.28)

Интегрируя (2.28) от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время,

. (2.29)

Данная работа совершается за счет убыли энергии магнитного поля, следовательно, энергия поля соленоида, через который течет ток I, равна

(2.30)

Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. Так как

и ,

получим

(2.31)

Магнитное поле, а следовательно и его энергия, локализованы внутри соленоида. Отсюда для плотности энергии магнитного поля будем иметь

(2.32)

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно путём интегрирования найти энергию поля, заключённого в любом объёме

(2.33)