5. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
5.1. Эйлеровы графы.
Содержательная
постановка задачи о Кенигсбергских
мостах дана в теме 1. Переформулируем
эту задачу в терминах теории графов.
Для этого рассмотрим следующий
неориентированный мультиграф:
Рис. 18
В этом графе вершины v1 и v4 соответствуют берегам, а v2 и v3 – островам. Ребра отображают мосты. Таким образом, на языке теории графов исходная задача формулируется следующим образом: существует ли в указанном мультиграфе цикл, содержащий все ребра данного мультиграфа?
Определение: Цепь (цикл), содержащая все ребра графа и притом по одному разу, называется эйлеровой цепью (эйлеровым циклом). Граф, содержащий эйлеров цикл, называется эйлеровым грфом.
Теорема. Для того, чтобы конечный связный неориентированный мультиграф был эйлеровым необходимо и достаточно, чтобы все его вершины имели чётные степени.
Д о к а з а т е л ь с т в о:
Необходимость. Предположим, что граф является эйлеровым. Это значит, что, в нём есть эйлеров чикл. При этом каждый раз, когда эйлеров цикл проходит через какую-либо вершину, он должен войти в нее по одному ребру, а выйти по другому. Следовательно, условие отсутствия вершин нечетной степени является необходимым.
Достаточность.
Предположим, что все вершины связного
графа G имеют
чётные степени. Тогда, в силу связности
графа G, для всех его
вершин выполняется условие d(v)>0.
Кроме того, в силу чётности вершин,
должно быть d(v)2
для всех v. По теореме
Эйлера имеем:
.Это
значит, что:
или
,
и следовательно граф G
не является деревом, а поэтому он содержит
хотя бы один простой цикл Z1
(Z1 - множество
ребер), тогда G\Z1
– остовный подграф, в котором все степени
вершин также четные. Исключим из
рассмотрения изолированные вершины,
тогда в графе G\Z1
существует простой цикл Z2G\Z1,
далее выделим Z3
и т.д. В результате этого получается
разбиение множества ребер на простые
циклы, то есть:
,где
.
Далее,
возьмем какой либо простой цикл
из полученного разбиения. Если
,
то теорема доказана. Если нет, то в силу
связности графа G,
существуют цикл
и вершина v1
такие, что
и
.
Маршрут, объединяющий
и
,
является циклом. Если
,
то теорема доказана. Если нет, то имеется
чикл
,
при котором существует вершина v2
такая, что
и
.
Далее будем наращивать эйлеров цикл до
тех пор, пока не исчерпаем всё разбиение.
В результате получаем эйлеров цикл.
всего графа.
5. 2. Алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе
Этот алгоритм задается следующими правилами:
Выбирается произвольная вершина v.
Выбирается ребро e инцидентное вершине v и ему присваивается номер 1 (это ребро называется пройденным).
Каждое пройденное ребро вычеркивается и присваивается номер на 1 больший номера предыдущего вычеркнутого ребра.
При нахождении в произвольной вершине x, не выбирается ребро, соединяющее x с v, если есть возможность другого выбора.
Ребро не проходится, если оно является перешейком. Перешейк – это ребро, при удалении которого, граф, образованный невычеркнутыми ребрами, распадается на две компоненты связности, каждая из которых имеет хотя бы одно ребро.
После того, как в графе будут занумерованы все ребра, образуется эйлеров цикл, нумерация рёбер которого соответствует последовательности обхода ребер.
Пример. Найти эйлеров цикл в эйлеровом графе
П
осле
выбора вершины v
и прохождения рёбер 1 и 2 имеется три
возможности: выбрать 3,6 или 7. Ребро 7
является пере-
Рис. 19
шейком, поэтому выбирается любое из оставшихся рёбер, например 3. Далее идёт обход оставшихся рёбер получается эйлеров цикл.