15.2. Преобразования сигнальных графов

После составления графа можно приступить к его решению, т.е. установить связь между двумя любыми его переменными. Существует два способа решения графа. Первый способ заключается в последовательном упрощении графа с помощью эквивалентных преобразований, в результате которых сложный граф сводиться к одной единственной дуге, передача которой равна передаче исходного графа.

По второму способу решения графа записывается сразу в виде формулы Мэзона. Второй способ более короткий, но менее наглядный. При первом способе наглядно проявляется роль отдельных параметров и связей. При этом устранение нежелательных связей и слабо влияющих параметров позволяет существенно упростить решение.

К эквивалентным преобразованиям графа относиться:

1. Объединение последовательных дуг

x_i a x_j b x_k x_i ab x_k

Рис. 44

2. Объединение параллельных дуг

a

x_i x_j x_i a+b x_j

b

Рис. 45

3. Исключение петли в конце дуги

b

x_i a x_j­ x_{i ­} x_j

Рис. 46

4. Исключение контура в конце дуги

b

x_i a x_j x_k x_i ab x_k b

c

Рис. 47

5. Устранение промежуточной вершины

x₁

x_i a x_j b ab x₁

c x₂ x_i ac x₂

d x₃ ad x₃

Рис. 48

x₁

a x ad

x₂ b x₄ d x₅ x₂ bd x₅

c cd

x₃ x₃

Рис. 49

6. Инверсия дуги связанной с истоком

x₁

x₁ a x₃

x₃

x₂ b x₂

Рис.50

7. Расщепление вершины

x₁ a c x₄ x₁ a c x₄ x₃ d x₅ x₅ d x₅

b b e

x₂ e x₆ x₂ x₆

Рис. 51

8. Удаление вершины

x ₁ a x₂ x₁ a x₂ 1 x`₂

Рис. 52

15.3. Формула Мэзона

Она позволяет вычислить передачу сигнального графа непосредственно по его структуре не прибегая к его преобразованиям. Для графа с одним источником формула Мэзона имеет вид K= где P_k – передачи k-го пути от источника до стока; Δ_k – определитель части графа не касающегося k-го пути; Δ – определитель графа.

Если граф имеет m контуров (путель), то определитель графа

Δ=1-

где - сумма передач всех m-контуров

- сумма произведений передач двух любых контуров, не касающихся друг друга

- сумма произведений передач трех любых контуров, не касающихся друг друга

Определитель Δ_k находят с помощью выражения

Δ_k=1-

где - сумма передач всех контуров (петель), не касающегося k-го пути

- сумма произведений передач двух любых контуров, не касающихся друг друга и k-го пути и т.д.

Определитель графа Δ не зависит от возможных путей в графе. Определитель Δ_k можно найти из выражения для Δ, исключив из него члены, которые содержат контуры, касающегося данного прямого пути. Формулы Мэзона можно использовать в графе, содержащем несколько источников. Для этого формулу Мэзона применяют к каждому источнику в отдельности а результат суммируют.

При составлении графа цепи, содержащей активные элементы, вначале строятся графы всех активных элементов этой цепи, а затем эти графы связываются уравнениями пассивной части цепи, выполняя условия причинно-следственной связи.