8.2. Раскраска графов

Раскраской (вершин) неориентированного графа G называется такое задание цветов вершинам графа G, что никакие две смежные вершины не получат одинаковый цвет. Наименьшее возможное число цветов в раскраске графа называется его хроматическим числом и обозначается .

Выражение хроматического числа через другие инварианты графа в общем случае неизвестно. Имеются лишь некоторые оценки.

В частности, полном графе К_n любые две различные вершины связаны ребром, следовательно .

Многие практические задачи сводятся к построению раскрасок графа.

Пример 1: Требуется прочитать несколько лекций за кротчайшее время. Пусть при этом чтение одной лекции занимает 1 час. Некоторые лекции не могут читаться одновременно из-за того, например, что их читает один и тот же лектор. В графе G вершинам соответствуют лекции и две вершины в нем смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им лекции нельзя читать одновременно. Следовательно, любая раскраска графа определяет допустимое расписание. В результате любое допустимое расписание определяет раскраску графа. При чём оптимальное расписание соответствует раскраске с минимальным числом цветов и, следовательно, оно определяет минимальное число часов, необходимых для прочтения всех лекций. Оно равно .

Пример 2: Рассмотрим граф, вершины которого страны, а рёбра – границы стран. Числу соответствует наименьшее число красок, необходимых для раскрашивания карты так, чтобы никакие две соседние страны небыли окрашены в один цвет.

Существуют также задачи связанные с раскраской ребер мультиграфа. Раскраска ребер в мультиграфе G может быть определена с помощью раскраски вершин реберного мультиграфа L(G). Для произвольного неориентированного мультиграфа G=(V,E,P) реберным мультиграфом L(G) называется тройка (E, V, P`) , где P` является подмножеством прямого произведения , и выполняется условие тогда и только тогда, когда в мультиграфе G вершина а является концом ребер u и v. Раскраской ребер мультиграфа G называется раскраска вершин мультиграфа L(G).

Практическое приложение. Проводиться монтаж радиоаппаратуры. Чтобы не перепутать проводники необходимо их раскрасить так, чтобы два проводника, идущие к одной плате, имели разные цвета, В этом примере вершинам мултиграфа соответствуют платы, а ребрам - проводники. Определение минимального набора цветов в проводниках соответствует решению задачи о раскраске рёбер соответствующего мультиграфа.

Неорграф называется бихроматическим, если .

Теорема. Пусть G – неорграф без петель, имеющий хотя бы одно ребро. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. G – бихроматический граф.

2. G – двудольный граф.

3. G –не содержит циклов нечетной степени.

Следствие. Если G – лес, то .

Для любого неорграфа G без петель справедливо неравенство , где deg(G) – максимальная степень вершин графа G.

8.3. Алгоритм последовательной раскраски

1. Произвольная вершина графа принимает цвет 1.

2. Если вершины a_{1, …,} a_i раскрашены цветом 1,2, …,l (li), то новой произвольно взятой вершине a_i+1 приписывается минимальный цвет, неиспользованный при раскраске вершин, смежных с a_i+1.

Для некоторых классов графов последовательная раскраска является минимальной, однако, в общем случае, это не всегда так.

Раскраска планарного графа. Теорема (Горбатов). Хроматическое число планарного графа не превышает четырех. (Горбатов «Фундаментальные основы дискретной математики», с. 244)