6.2. Разрезы

Пусть G=(V,E) – неорграф, V ={V₁, V₂} – разбиение множеств V. Р азрезом графа G (по разбиению V) называется множество всех ребер, соединяющих вершины из V₁ с вершинами из V₂.

Рис. 22

Заметим, что в связном графе любой разрез непуст. Непустой разрез K неориентированного графа G называется коциклом (простым разрезом), если любое непустое собственное подмножество не является разрезом. Другими словами из К нельзя удалить ни одно ребро с тем, чтобы полученное множество было непустым разрезом.

Заметим, что понятие остова и коцикла является противоположными в том смысле, что остову соответствует минимальное количество ребер, которые связывают посредствам маршрутов все вершины связного графа, а коцикл состоит из минимального количества ребер, отделяющих некоторые вершины связного графа от остальных вершин.

Теорема 1. В конечном неорграфе G=(V, E), имеющим c компонент связности, множество ребер К тогда и только тогда является коциклом, когда граф (V, E\K) имеет c+1 компонент связности.

Теорема 2. В связном неорграфе остовное дерево имеет по крайней мере одно общее ребро с любым из разрезов графа.

Теорема 3. В связном неорграфе любой цикл имеет с любым разрезом четное число общих ребер.

Рассмотрим неорграф G=(V, E) имеющий n вершин, m ребер и c компонент связности. Пусть Т – остов графа G и u₁, u₂, …, u_n-c – множество ветвей остова Т. Удаляя из остова Т произвольную ветвь u_i, получим лес с (c+1) компонентами

Рис. 23

связности, т.е. ребро u_i является разрезом остова Т по некоторому разбиению {V₁, V₂}.

В графе G могут существовать ещё какие-то ребра v_i1, v_i2, …, v_ij, являющимися хордами остова Т соединяющими вершины из V₁ с вершинами из V₂. Множество рёбер К_i={u_i, v_i1, v_i2, …, v_ij} образует простой разрез графа. Он называется фундаментальным разрезом графа G, относительно ветви u_i остова Т. Множество {K₁, K₂…,K_n-c} всех фундаментальных разрезов графа G, относительно остова T, называется фундаментальным множеством коциклов графа G, относительно остова Т. Мощность этого множества не зависит от выбора остова Т и равна n-c. Число называется корангом.

Фундаментальному разрезу K_i ставиться в соответствие

вектор , компоненты которого определяются по правилу:

Фундаментальное множество коциклов задается матрицей фундаментальных разрезов, строки которой являются векторами .

.

Так как, каждый фундаментальный разрез K_i содержит ровно одну ветвь, а именно u_i, то матрица К имеет следующий вид:

Таким образом, матрицу К можно представить в виде , где К₂ – единичная матрица порядка n-c. Заметим, что если соответствует матрица фундаментальных циклов, то .

Пример: Найти матрицу фундаментальных разрезов графа G изображенного на рисунке:

Рис. 24

Так как, коранг то, следовательно, в данном графе имеется пять фундаментальных разрезов (коциклов). Ребро 4 соответствует коциклу К₁={1, 4}, поскольку при удалении ребра 4 из остова Т множество вершин V разбивается на две части {v₁} и V\{v₁}. А на разбиении {{v₁}, {V\{v₁}}} рёбра 1 и 4 образуют разрез. Аналогично ребру 5 соответствует коцикл К₂={5}, ребру 6 соответствует коцикл K₃={1, 2, 3, 6}, ребру 7 соответствует коцикл K₄={2, 3, 7} и ребру 8 соответствует коцикл K₅={3, 8}. Таким образом, матрица фундаментальных разрезов имеет вид: