Методическое пособие 699

через рассматриваемый элемент поверхности ребра она будет равна q sin (рис. 2.17). При этом должно быть справедливо соотношение

Контур ребра, найденный указанным методом представ-

такой профиль ребра, образованный дугами окружности, обладает минимальной массой. Такое ребро и ребро треугольного сечения по массе отличаются очень мало. По технологическим причинам проще изготовить ребра треугольного профиля, поэтому на практике они используются чаще, чем ребра, образованные дугой окружности.

Ребро треугольного и трапециевидного сечения. В практике нашли широкое применение прямые ребра как треугольного сечения с острой вершиной, так и с усеченной вершиной

– трапециевидные.

Пусть заданы размеры трапециевидного ребра (рис. 2.18) и избыточная температура 1 у его основания. За начало координат целесообразно принять вершину треугольника, направив ось x вдоль оси симметрии ребра. При этом вектор плотности теплового потока q будет направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси x [Л. 124].

198

Рис. 2.18 Перенос теплоты через ребро трапециевидного сечения

Для такого ребра площадь поперечного сечения будет

где . коэффициент теплоотдачи на поверхности ребра; u . периметр сечения ребра на расстоянии х, который можно выра-

зить как u = 2l; dx= dх/сos .

Произведя дифференцирование выражения (б) с учетом соотношения (а), получим:

198

После введения новой переменной z = ( sin ) уравнение (в) приобретает вид:

Дифференциальное уравнение (2.101) есть модифицированное уравнение Бесселя, решение которого имеет вид:

где I0 и K0 — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода.

Постоянные С1 и С2 в уравнении (2.102) находятся из граничных условий, которые для рассматриваемого случая за-

Тепловой поток можно определить по закону Фурье:

При пользовании этими формулами теплоотдача с торца может быть учтена условным увеличением высоты ребра h на половину толщины его торца 2/2.

198

Если ребро имеет треугольное сечение, то в этом случае x2 = 0, а следовательно, и z2 = 0, I1(0) = 0 и формулы (2.103) . (2.105) принимают вид:

Максимальный тепловой поток через ребро треугольного сечения данной массы будет иметь место при выполнении равенства

Формулы (2.103), (2.104) и (2.105) громоздки и неудобны для практических расчетов. Поэтому расчет ребер переменного сечения можно свести к методике расчета прямых ребер постоянного сечения.

В этом случае

QFq , (2.110)

где Q- количество передаваемой теплоты в единицу времени; F— поверхность охлаждения ребра; q = Q/F — плотность теплового потока для прямоугольного ребра, длина, высота и толщина которого равны длине, высоте толщине суженного ребра; f 2 / 1 , 2 / 1 — поправочный коэффициент на

суженность ребра; определяется по графику рис. 2.19.

198

Общее решение уравнения (2.111) получим после перемножения уравнений (2.116) и (2.117). Решение (2.116) будет удовлетворять граничному условию = 0 при х = 0, когда (х)

198

можно лишь при С3 = 0. Таким образом, решение для (2.111) приводится к виду

Каждому значению n соответствует частное решение, а каждому частному решению соответствует свое значение постоянной интегрирования. Общее решение есть сумма частных решений для всех последовательных положительных значений чисел n:

Полученное решение удовлетворяет и третьему граничному условию, т. е. = 0 при y .

Оставшиеся постоянные Сn определяются из граничных условий = F(х) при у = О. При этом

Это равенство есть разложение функции F(х) в ряд Фурье по синусам. Коэффициенты ряда Фурье определяются следующим выражением:

0

Окончательное решение для температурного поля рассматриваемой задачи с учетом последнего соотношения можно записать в виде

Итак, окончательное решение рассмотренной двухмерной задачи после определения постоянных интегрирования представится суммой бесконечного ряда.

Аналогичным образом можно пол решение и для сплош-

198

ного цилиндра при изменении температурного поля в двух измерениях. Окончательное решение, как и для пластины, представится суммой бесконечного ряда.

При решении конкретной задачи вычисляют интеграл в уравнении (2.119), исходя из условий задания температуры. Следующим

этапом является вычисление членов ряда в зависимости от условий сходимости в требуемой точности вычислений.

Например, если t = t2 = const при y = 0, то f(х) = t2, а F(х) =t2 – t1. Интеграл

(n = 1, 3, 5, 7, …).

Подставим этот интеграл в уравнение (2.119), получим:

Можно показать, что полученный ряд сходится. Для вычисления изотерм существуют различные методы. Наиболее точным является метод, при котором y принимается в качестве постоянного параметра. По серии кривых, отвечающих постоянному значению у, строят изотермы.

2.12 Пористое охлаждение пластины

Пористые материалы находят большое применение в таких конструкциях, как высокотемпературные теплообменники, турбинные лопатки, реактивные сопла и т. д. На практике охлаждение пористых структур достигается нагнетанием жидкости или газа через капилляры твердого тела. Процесс теплообмена в таких пористых системах весьма сложен. При решении

198

задачи предполагается, что вся передача теплоты внутри плоской пластины осуществляется за счет теплопроводности через твердую фазу, и что температуры твердого тела и жидкости почти не отличаются друг от друга в любой точке пористой структуры. Эти предположения существенно упрощают решение задачи.

Рассмотрим показанную на рис. 2.21 плоскую пластину с постоянным коэффициентом теплопроводности с. Размеры пластины в направлениях y и z велики и температурное поле внутри пластины можно считать одномерным; последнее справедливо и для температуры охлаждающей жидкости, т. е. t = t(х) при 0 x и tж = tж(x) при . x 0.

t

c tc2

tc1

tж0

x

Жидкость или газ

Рис. 221 Пористое охлаждение плоской пластины

На поверхности пластины при х = температура стенки равна tc2. Температура нагнетаемой вдоль оси Ох через пла-

198