Методическое пособие 699

числа Bi, учитывающего условия протекания процесса на поверхности, рассмотрим два предельных случая:

а) Bi 0 (практически Bi<0,1)

Как было сказано, эти условия соответствуют внешней задаче, когда распределение температуры в теле зависит от его размеров и физических свойств и, следовательно, усредненные по поверхности и объему температуры будут одинаковы:

F v (рис. 3.8). Коэффициент неравномерности распределения температуры в теле

F 1

v

б) Bi(практически Bi>100)

При этих условиях задача становится внутренней и процесс охлаждения определяется только размерами тела и его физическими свойствами.

В силу большой интенсивности теплообмена температура на поверхности тела принимает постоянное значение, равное температуре окружающей среды (рис. 3.7). Коэффициент неравномерности распределения температуры

F 0 .

v

198

пазоне значений чисел Bi изменяется от нуля до своего предельного значения, равного /2 (рис. 3.22). Для тел другой геометрической формы имеют место свои изменения величины .

Так как при Bi(практически Bi>100) при охлаждении бесконечной пластины можно принять = /2, то из уравнения (3.95) получаем:

уравнения (3.96) получаем:

граничной пластины, который определяется только формой и геометрическими размерами.

Коэффициенты пропорциональности для тел других геометрических форм [Л. 76]:

для шара:

1

K 2 ;

r0

для параллелепипеда:

198

для цилиндра конечной длины:

r0 l

На основе теории регулярного режима разработаны различные экспериментальные методики определения теплофизических характеристик разных материалов [Л. 139, 142]. При определении физических параметров тела поступают следующим образом.

Для определения коэффициента температуропроводности используют а-калориметр, имеющий форму цилиндра или шара. Создают условия, близкие к а , измеряют изменение избыточной температуры во времени и строят зависимость в полулогарифмических координатах (рис. 3.23). Тогда

Из уравнения а = Kmнаходят коэффициент температуропроводности.

198

тогда

ся на эталонном калориметре, изготовленном из материала с известным коэффициентом теплопроводности.

Мы рассмотрели метод регулярного теплового режима для условий, когда температура среды постоянна (tж = const) и который Г.М. Кондратьев назвал регулярным режимом первого рода.

В последние годы получили развитие и широкое распространение методы регулярного режима для случаев, когда

колебания температуры среды). Эти два случая получили название методов регулярного режима второго и третьего рода.

ln

0

Рис. 3.23 К определению темпа охлаждения m

198

3.11 Приближенные методы решения задач теплопроводности

В настоящее время существует много различных приближенных методов расчета теплопроводности; которые приводят к удовлетворительным результатам. Приближенные методы решения задач чаще всего применяются в случае, когда точные аналитические методы расчета затруднительны. Рассмотрим некоторые из этих методов.

а) Численный метод.

Аналитические решения, полученные путем непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точке данной системы. В противоположность этому в основу численного метода положено уравнение в форме конечных разностей, с помощью которого вычисляем температуру в некоторых, заранее выбранных точках данной системы. Это равноценно математическим приемам приближенного интегрирования. Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, которые не всегда осуществимы, то при помощи численного метода всегда возможно, по крайней мере приближенно, удовлетворять граничным условиям конкретной задачи.

Из численных методов решения задач теплопроводности в настоящее время наиболее ценным и широко используемым является метод конечных разностей.

Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются приближенными соотношениями между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций. Расчетное соотношение приводится к вид, где будущая температура в рассматриваемой узловой точке является функцией времени, настоящей температуры в рассматриваемой точке и настоящей температуры в соседних точках. Такие уравнения составляются для всех узловых точек

198

рассматриваемой области, включая граничные. В результате получаем замкнутую систему алгебраических уравнений. Ввиду однотипности вычислений при решении такой системы представляется широкая возможность для использования современной вычислительной техники.

Для получения расчетных формул при численном интегрировании в настоящее время широко пользуются методом тепловых балансов и математическими операциями при замене в дифференциальных уравнениях производных функций конечными разностями.

В качестве конкретного примера формулу для численного интегрирования одномерной нестационарной задачи методом тепловых балансов. Пусть в этом случае процесс теплопроводности описывается уравнением

Первым шагом численного метода расчета является разбиение данной системы на соответствующее количество объемов и присвоение номера центральным точкам каждого из этих объемов. Предполагается, что термические свойства каждого такого объема сосредоточены в центральной узловой точке. Передача теплоты между узловыми точками осуществляется через условные тепловыделяющие стержни.

В нестационарном состоянии в каждой точке не только происходит подвод или отвод теплоты. Но и изменяется внутренняя энергия.

Изменение внутренней энергии зависит от изменения температуры в узловой точке во времени, от теплоемкости элементарного объема, который она представляет, и плотности вещества. Такой подход к вычислению температуры носит название метода приближенной численной итерации.

Рассмотрим применение метода к расчету температурного поля в плоской стенке уравн ен ие (3 100) . Для знакомства

с применением численного метода к другим задачам теплопроводности следует обратиться к специальной литературе.

198

Разбиваем стенку на элементарные объемы

V= × ×1= 2 (рис.3.24). Полагаем, что удельная теплоемкость с и коэффициент теплопроводности λ в пределах элементарного участка постоянны. Очевидно, количество теплоты, подводимое стержнем к узловой точке, определится по закону Фурье: q=. λ (dt/dx). Если расстояние достаточно мало, то можно выразить q через разности, т.е. q=. ( λ / δ ) t, где t – разность температур между смежными узловыми точками. Обще количество теплоты, проводимое стержнем за конечное приращение времени , равно:

где для одномерной системы проводящая площадь F=,м 2 .

Рис. 3.24 Разбиение и числовая сетка для нестационарной

одномерной задачи

Изменение внутренней энергии в рассматриваемой узло-

198