Методическое пособие 699

бесчисленного количества явлений выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти особенности называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя: геометрические условия, характеризующие форму и

размеры тела, в которых протекает процесс; физические условия, характеризующие распределения

температур в изучаемом теле в начальный момент времени; временные (начальные) условия, характеризующие рас-

пределение температур в излучаемом теле в начальный момент времени;

граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс.

Физическими условиями задаются физические параметры тела, λ, с, ρ и др. и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом:

при τ = 0

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

198

а) Граничные условия первого рода. При этом задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

где tс – температура на поверхности тела; x,y,z – координаты поверхности тела.

В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение (1-34) упрощается и принимает вид:

tс=const.

б) Граничные условия второго рода. При этом задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени.

Аналитически это можно представить следующим об-

где qп - плотность теплового потока на поверхности тела; x,y,z

–как и в случае (1-44) – координаты на поверхности тела.

Впростейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной:

Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.

в) Граничные условия третьего рода. При этом задается температура окружающей среды tж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Граничное условие третьего рода характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон НьютонаРихмана.

Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой относится к очень сложным процессам и зависит от большого количества параметров.

198

Согласно закону Ньютона-Рихмана количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела tc и окружающей среды tж (tc> tж):

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2 К).

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоту, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи [уравнение (1-48)], должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, [уравнение (1-10) *], т. е.

где n – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела

(при n = 0).

Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде

Уравнение (1-50) по существу является частным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела.

Коэффициент теплоотдачи зависит от большого числа факторов. Однако во многих случаях коэффициент теплоотдачи можно считать неизменным, поэтому мы будем в дальнейшем при решении задач теплопроводности принимать величину постоянной.

198

Граничные условия четвертого рода характеризуют условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы).

В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков, походящих через поверхность соприкосновения:

В задачах с граничным условием четвертого рода задается отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в точке соприкосновения тел или тела и среды

(рис. 1-12):

Так как при совершенном контакте оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру, то касательные у поверхности раздела проходят через одну и ту же точку (рис. 1-12).

Дифференциальное уравнение (1-39) совместно с условиями однозначности дают полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности. Поставленная таким образом задача разрешается аналитическим, численным или экспериментальным методом. В случае экспериментального решения задач теплопроводности используются методы физического моделирования или тепловых аналогий (гл. 5 и 6).

198

В настоящей главе рассматривается теплопроводность в телах простейшей геометрической формы. При этом случаи,

когда они имеются ( q 0 ), рассматриваются раздельно. Первым объектом рассмотрения является передача теплоты через плоскую стенку при q 0 .

а) Граничные условия первого рода

Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной с постоянным коэффициентом теплопроводности . На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянными

температуры tc1 и tc2.

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки. Если ось Ox направить, как показано на рис. 2-1, то температура в направлении осей Oy и Oz будет оставаться постоянной:

198

t

tc1

tc2

q

x

0

Рис. 2.1 Однородная плоская стенка

В связи с этим температура будет функцией только одной координаты x и дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая запишется в виде

Граничные условия в рассматриваемой задаче зададим следующим образом:

Уравнение (2-3) и условия (2-4) дают полную математическую формулировку рассматриваемой задачи.

В результате решения поставленной задачи должно быть найдено распределение температуры в плоской стенке, т.е. t = f(x), и получена формула для определения количества теплоты, проходящего в единицу времени через стенку.

198

Закон распределения температур по толщине стенки найдется в результате двойного интегрирования уравнения (2.3).

Первое интегрирование дает:

После второго интегрирования получим:

Из уравнения (2-6) следует, что при постоянном коэффициенте теплопроводности температура в стенке изменяется по линейному закону. Постоянные С1 и С2 в уравнении (2.6) определяются из граничных условий:

при x = 0 t = tc1 и C2 = tc1;

при x = t = tc2 и C1 t c1 t c2 .

Подставляя значения постоянных С1 и С2 в уравнение (2.6), получим закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке:

Если отсчет избыточной температуры в стенке вести от наименьшей заданной температуры tc2, то уравнение (2.7) можно привести в безразмерному виду.

турный напор или наибольшая избыточная температура. После введения этих обозначений уравнение (2.7) запи-

198

напор или безразмерная избыточная температура x / X - безразмерная координата; получим:

1 X. (2.8 )

Уравнение температурного поля (2.8 ) является универсальным. Его универсальность заключается в том, что распределение температуры в стенке можно представить единой прямой в отрезках на осях для любого заданного значения tc1, tc2 и (рис. 2.2). В ряде случаев пользоваться безразмерными уравнениями весьма удобно.

= 1 - x

1

0 1

Рис. 2.2 Безразмерное поле температур в плоской стенке = 1 - x

Для определения количества теплоты, проходящего через единицу поверхности стенки в единицу времени в направлении оси Ox, воспользуемся законом Фурье, согласно которому

q = - t/ x. Учитывая, что t/ x= C1 = (tc1 – tc2)/ , после подстановки значения t/ x в выражение закона Фурье получим:

Из уравнения (2.9) следует, что количество теплоты, проходящее через единицу поверхности стенки в единицу време-

198

ни, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности , разности температур на наружных поверхностях стенки tc1 – tc2 и обратно пропорционально толщине стенки . Следует указать, что тепловой поток определяется не абсолютным значе-

или термическим сопротивлением стенки. Последнее представляет собой падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока. Зная плотность теплового потока, легко вычислить общее количество теплоты Q , которое передается через поверхность стенки величиной F за промежуток времени :

Из уравнения (2.11) следует, что при прочих равных условиях температура в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.

Выражения (2.7) и (2.9) получены в предположении, что = const. В действительности является переменной величи-

ной.

Рассмотрим случай, когда коэффициент теплопроводности является функцией температуры:

(t) .

Для многих материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры близка к линейной:

198