Методическое пособие 699

Нетрудно видеть, что для такой двухмерной задачи решение будет устойчивым только при условии

Если принять число Fo=1/4, то уравнение (3.124)примет

вид:

Отсюда видно, что будущая температура в рассматриваемой точке не зависит от настоящей в этой точке и определяется настоящими температурами соседних точек.

Аналогичные расчетные соотношения для вычисления температур в узловых точках можно получить и для трехмерной задачи.

б) Принцип стабильности теплового потока.

Существует ряд приближенных решений задачи о распространении теплоты в телах произвольной формы. Рассмотрим метод, базирующейся на принципе стабильности теплового потока. Если на поверхности твердого тела оставить тепловой поток постоянным, но изменить условия охлаждения на небольшом участке поверхности, то это вызовет существенное местное изменение температурного поля. Однако в точках достаточно удаленных от места возмущения, изменение температурного поля будет ничтожным.

Из сказанного следует, что деформация поверхности тела будет оказывать существенное влияние на температурное поле только в точках близких к поверхности, а в удаленных от поверхности точках характер температурного поля будет оставаться низменным.

Используя эти свойства стабильности теплового потока, расчет теплопроводности в телах сложной геометрической конфигурации можно свести к расчету процесса нагрева (охлаждения) тел трех классических форм: одномерной плоской пластины . тело первого класса, длинного круглого цилиндра – тело второго класса и шара – тело третьего класса. При реше-

198

нии задачи прежде всего необходимо рациональным образом определить класс. К которому надо отнести рассматриваемое тело. Затем произвести сравнение температурного поля с температурным полем основного тела этого класса.

Согласно принципу стабильности должно выполняться условие

tc t ж Fd o tco t жо Fod , (3.127)

где α -среднее по поверхности значение коэффициента теплоотдачи, Вт/(м К); t c - средняя температура поверхности

тела, o С;

F - поверхность охлаждения, м 2 ; τ - время, с.

Величина без индекса «0» относится к рассматриваемому телу, а с индексом «0» . к основному телу соответствующего класса. При соблюдении условий (3.127) расчет температурного поля рассматриваемого тела можно свести к расчету температурного поля эквивалентного основного тела соответствующего класса (пластины, цилиндра или шара). Последнее предполагает, что внешняя конфигурация тела будет существенно влиять на температурное поле только в точках, близких к поверхности. Температурные поля вдали от поверхности становятся сопоставимыми с температурными полями в основных телах соответствующего класса.

Если в уравнении (3.127) обозначить:

=o и d d ,

то уравнение (3.127) принимает вид:

F F,

или

где

198

FF . (3.129)

Безразмерный множитель А характеризует размер поверхности рассматриваемого тела, выраженный через поверхность основного тела. Величину А называют критерием формы. Уравнение (3.128) выражает количественные требования, которые необходимо выполнить для обеспечения эквивалентности температурных полей обоих тел.

При расчете температурных полей в формулы для основных тел вместо α , подставляется величина αο, вычисленная по

уравнению (3.128), и в качестве определяющего линейного размера l ο ,берется эквивалентный размер для тела соответст-

где F сеч - площадь поперечного сечения тела; критерий формы

198

где p - периметр поперечного сечения рассматриваемого тела, м; po - периметр поперечного сечения эквивалентного круглого цилиндра, м.

Для тел третьего класса определяющий эквивалентный линейный размер

Если в уравнении (3.129) величину поверхности эквивалентного шара выразить через его объем V, равный объему рассматриваемого тела, то критерий формы

Описанный метод расчета температурных полей дает удовлетворительные результаты при малой и средней интенсивности теплообме6на на поверхности тела.

При большой интенсивности теплообмена (Bi1) вместо уравнения (3.128) используют выражение

В дальнейшем при выполнении расчета могут быть использованы ранее полученные формулы.

На рис. 3.29 и 3.30 изображены кривые охлаждения для оси бруска квадратного сечения и центра куба. Охлаждающихся в условиях большой интенсивности (Bi1).

198

Сплошные кривые отвечают расчету по методу эквивалентных тел. Нанесенные на рис. 3.29 и 3.30 точки получены на основе точного решения задачи. Совпадение результатов удовлетворительное.

Применимость теории определяется значением критерия А - точность расчетов возрастает при стремлении критерия А к единице.

198

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании комплекса теоретических и экспериментальных исследований подробно рассмотрены теоретические основы теплопроводности, освещен круг проблем и вопросов современной теории тепломассообмена, а также показаны общие идеи и методы, используемые при их решении. Предлагаемые теоретические сведения необходимы в качестве обобщающего и дополняющего знания студентов материала при изучении курса «Тепломассообмен». Данное пособие может быть использовано как введение в специальные курсы, а также для инженерно-технических расчетов.

198

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. Учебник для вузов, изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Энер-

гия, 1975, 486 с.

2. Краснощеков Е.А., Сукомел А.С. Задачник по теплопередаче. М.: Энергия, 1969. 264 с.

3.Кутателадзе С.С. Теплопередача при конденсации и кипении. М. – Л.: Машгиз, 1952. 232 с.

4.Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. Новосибирск: Наука (СО), 1973. 227 с.

5.Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

198

198

3.3Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины . 117

3.4Определение количества теплоты, отданного

198