Методическое пособие 699

где t- температура в данной узловой точке в момент времени ;

Уравнение (3.104) является основой численного метода расчета нестационарной теплопроводности. Для расчета тем-

пературы t / 1 по (3.104) необходимо выбрать определенное значение Fo. При этом важно помнить, что выбор Fo ограничен условием

шить условие (3.105), то изменение температуры в процессе расчета приобретает беспорядочный скачкообразный характер и расчет перестает быть верным. Поэтому при выборе проме-

198

жутков δ и τ необходимо заботиться о том, чтобы условие

Формула (3.106) широко используется при графическом решении нестационарных задач теплопроводности. При этом будущая температура данной узловой точки не зависит от ее настоящей. При других значениях Fo уравнение (3.104) приводит к более сложным результатам:

Рис. 3.25 Сравнения численных расчетов с точным решением распределения температур (Fo=1/4) в плоской стенке. Линии соответствуют аналитическому решению, точки . численному расчету

и

198

Из уравнений (3.106) - (3.108) следует, что уменьшение значений Fo увеличивает число вычислений и густоту сетки, однако при этом повышается точность вычислений.

4

Рис. 3.26 Сетка узловых точек для двухмерной нестационарной задачи

Для случая, когда одна из поверхностей пластины изолирована и на ней не происходит теплообмена, а на другой коэффициент теплоотдачи α уже при выборе Fo=1/4 приближенный численный метод практически не отличается от тонкого расчета. Сравнение таких расчетов приведено на рис.3.25. Пользуясь изложенным методом, можно получить исходное уравнение для численного расчета и для других задач нестационарной теплопроводности. В частности, для двухмерной задачи после разбиения тела на элементарные объемы с размерами ячеек х= у= δ схема узловых точек будет выглядеть, как показано на рис.3.26. Составляя уравнение теплового баланса для центральной точки, получаем:

198

аналогично условию (3.105) для одномерной задачи.

При значении Fo=1/2 уравнение (3.109) принимает вид:

При этом будущая температура узловой точки не зависит от ее настоящей.

Для замены производных функции в дифференциальном равнении разностными отношениями можно воспользоваться математическими операциями. Такой подход не является более строгим, но он дает возможность решать задачи при разнообразных краевых условиях, оценить погрешность перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разностях и более просто провести анализ условий устойчивости и сходимости решения.

198

β m или ν m (см. рис.3.27) , образованными секущими ВА и АС. При этом производная в точке А (t m , m δ x . ) запишется следующим образом:

Если угловой коэффициент касательной AD заменить на угловой коэффициент секущей ВС, получим выражение для производной в точке А следующего вида:

Полученные выражения (3.113).(3.115) равноценны ля замены первой производной функции и называются соответственно: предыдущее, последующее и симметричное разностные отношения.

198

Если заменить кривую на участке ВС ломаной ВАС, имеющей в точке А два наклона, то получим выражение для торой производной функции t=f(x):

Приведенные формулы (3.114)-(3.116) наиболее часто используются при численном интегрировании уравнений теплопроводности. Используем полученные формулы для преобразования дифференциального уравнения к конечно.разностной форме. Преобразование проведем на примере одномерной нестационарной задачи теплопроводности безграничной стенки

уравн ен ие(3 100) :

Так как температура t(x, τ) является функцией двух пере-

менных, удобно выбрать прямоугольную сетку. Весь интервал х от 0 до l по оси абсцисс разобьем на одинаковые интервалы δ x . а отрезок времени от τ 0 до = разделим на равномер-

ные интервалы δ τ (рис.3.28). Восстановленные перпендикуля-

ры к координатным осям в точках деления при пересечении образуют расчетные узловые точки. Тогда температура для уз-

198

Заметим в точке 1 (m δx , k δτ ) частные производные в уравнении теплопроводности разностными отношениями:

вающие переход от производных функций к разностным отношениям. Можно показать, что эти члены стремятся к нулю при стремлении к нулю интегралов разбиения δx и δτ. . Диффе-

ренциальное уравнение в конечно-разностной форме запишется следующим образом:

(3.120) будет стремиться к нулю при стремлении к нулю δτ .

Следовательно, чем более мелкие интервалы выбраны для сетки узловых точек, тем меньше ошибка перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разностях. Ошибки ε1 и ε2 можно оценить, воспользовавшись разложени-

ем функции t в ряд Тейлора.

Отбрасывая остаточный член в уравнении (3.120) и обозначая приближенное значение величины t m,k через Tm,k, полу-

чим приближенное решение для будущей температуры в узловой точке mδx,kδτ :

198

числа Фурье для элементарного объема расчетной области, тогда

Если нам известно распределение температуры в расчетной области в какой-либо (например, начальный) момент времени, то. Пользуясь системой уравнений полученного типа, можно рассчитать температуру в узловых точках для последующего момента времени τ δ τ. Температура в узловых точ-

ках, находящихся на границах области интегрирования, известна из граничных условий.

Из уравнения (3.121) следует. Что значения расчетных температур зависят от числа Fo, т.е. от способа разбиения про- странственно-временной области. Выбирая интервалы разбиения δ x и δ τ , мы можем получить любое значение числа Fo. Од-

нако, как показывает анализ, решение устойчиво не при любом значении Fo, а следовательно, выбор величин δ x и δ τ не произ-

волен. Анализ отклонения числового расчета от точного решения показывает, что устойчивость расчета для рассматриваемой задачи обеспечивается только при том условии, когда в

ки δ x и δ τ . Точно такое же условие обеспечения численного ин-

тегрирования было получено методом тепловых балансов (выражение (3.105)).

Нетрудно получить конечно-разностное выражение и для двухмерной нестационарной задачи теплопроводности t(x,y, ). Дифференциальное уравнение для такой задачи имеет вид:

198

В этом случае температуре для любой узловой точки должно присваиваться три индекса t k где m, n, . индексы координат, k.индекс времени. Разобьем область интегрирования на одинаковые интервалы. Тогда. Пользуясь ранее полученными соотношениями, для узловой точки с координатами

y , k получим:

(а), получаем приближенное выражение для будущей темпера-

198