Методическое пособие 699

Из уравнения (3.24) следует, что в условиях охлаждения (нагревания) пластины для любого момента времени при заданных граничных условиях поле температуры имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (Х = 0). Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. При этом для любого момента времени касательные к кривым в точках Х = ± 1 проходят через две направляющие точки + А и

– А . расположенные на расстоянии ± Х0 от поверхности пла-

стины, X0 = 1/Bi (рис. 3.6).

Для доказательства этого важного свойства рассмотрим температурное поле для произвольного момента времени

Fo>0.

Умножив граничнoe условие (3.6) при x = на / 0, получим:

x

Записывая последнее выражение в безразмерных величинах, будем иметь:

Из рисунка следует, что

Сравнивая выражения (а) и (б), получаем:

Из уравнения (3.29) следует, что расстояние точки А от поверхности определяется заданными условиями однозначности, которые справедливы для любого момента времени. Следовательно, касательные ко всем температурным кривым в

198

точке пересечения с поверхностью пластины и неизменных граничных условиях всегда будут проходить через точку А. Сказанное справедливо не только для пластины, но и для цилиндра, шара и тел других геометрических форм.

= 1; F0 = 0

F01 > F0

F02 > F01

Рис. 3.6 Изменение температурного поля в плоской неограниченной стенке при ее охлаждении

Доказанное свойство температурных кривых дает возможность определить характер изменения температуры в теле при заданном значении числа Bi. Рассмотрим при этом три случая.

1. Случай, когда Bi (практически Bi > 100). Если число Bi стремится к бесконечности, то температура поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды, в которую помещена пластина. Последнее видно из уравнения (3.29): при Bi X0 = 1/Bi = 0. Это озна-

198

чает, что точка пересечения касательных к температурным кривым находится на поверхности пластины. Из Bi = ( / ) / (1/ ) следует: Bi при заданных физических параметрах и толщине пластины тогда, когда , т.е. когда имеет место очень большая интенсивность отвода теплоты от поверхности. В этих случаях процесс охлаждения определяется физически-

198

По формуле (3.33) можно определить время, необходимое для прогрева середины пластины до заданной температуры.

2. Очень малые числа Bi (практически Bi < 0,1). Если

ния числа Bi могут иметь место при малых размерах толщины пластины, при больших значениях коэффициента теплопроводности и малых значениях коэффициента теплоотдачи . Следует заметить, что при малых значениях 1 функции tg 1 и sin 1 можно заменить через их аргументы, и тогда характеристическое уравнение (3.14) запишется:

198

сматриваемом случае n есть функция Bi, т. е. зависит от толщины пластины. Температурные кривые для любого момента времени будут выглядеть, как показано на рис. 3.9. В этом случае интенсивность процесса охлаждения (нагревания) определяется как внутренним, так и внешним термическими сопротивлениями.

Рис. 3.9 Распределение температуры в плоской стенке при ее охлаждении в условиях, когда Bi – конечная величина; F01 < F02 < F03 < F04

3.4 Определение количества теплоты, отданного пластиной в процессе охлаждения

Количество теплоты Qп, Дж, которое отдает или воспринимает пластина с обеих сторон за время от = 0 до = , должно равняться изменению внутренней энергии пластины за период полного ее охлаждения (нагревания):

198

Тогда за любой промежуток времени от = 0 до 1 или, что то же, от Fo до Fo1, внутренняя энергия пластины изменится на

Из соотношений (3.37) и (3.38) следует, что расчет количества теплоты, отданного или воспринятого пластиной, сводится к нахождению средней безразмерной температуры в интересующий нас момент времени. Средняя безразмерная температура для слоя пластины от оси симметрии до плоскости Х найдется как

в соответствии с теоремой о среднем.

Если в это выражение подставить под знак интеграла значение из уравнения (3.24) и проинтегрировать в пределах от нуля до единицы, то получим:

Подставив в уравнение (3.38) вычисленное по формуле (3.39) значение средней температуры пластины для интересующего нас момента времени, получим количество теплоты, отданное пластиной в окружающую среду за рассматриваемый промежуток времени.

При Bi (практически Bi > 100) уравнение (3.39) принимает вид:

198

от числа Bi и может быть представлен как некоторая функция M(Bi), тогда уравнение (3.42) запишется:

Функция M(Bi) может быть заранее рассчитана и представлена в таблицах. Тогда расчет средней температуры будет сводиться к вычислению экспоненты.

3.5 Охлаждение (нагревание) бесконечно длинного цилиндра

Цилиндр радиусом го отдает тепло окружающей среде через свою боковую поверхность; коэффициент теплоотдачи во всех точках поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлаждения. Температура среды tж постоянна. В начальный момент времени при = 0 температура является некоторой функцией t (r, 0) = f(r). Отсчет температуры цилиндра будем вести, как и в § 3.3, от температуры среды, т. е. t – tж = . При этих условиях уравнение теплопроводности принимает вид:

Граничные и начальные условия: при = 0 и 0 r r0

198

Сформулированную задачу решим с помощью разделения переменных, т. е. 0'(г, т) ==ф(т)ф(г). Подставляя это выражение в уравнение (3.43), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения вида

первого и второго рода нулевого порядка. Так как температура на оси цилиндра (r = 0) должна быть конечной величиной, а Y0(0) , то из физических соображений частное решение уравнения (3.45) не должно содержать бесселеву функцию второго рода и С3 должно быть равно нулю.

С учетом сказанного уравнение (б) принимает вид:

198