Методическое пособие 699

стину жидкости при x . равна tж0. Температуры tc2 и tж0 известны. Задан удельный массовый расход охлаждающей жидкости G, кг/(м2 c), теплоемкость срж и теплопроводность ж которой постоянны. Необходимо найти распределение температуры в такой пористой стенке.

Будем рассматривать пористость пластины p как отношение объема пор ко всему объему материала. Для равномерной пористости можно считать, что на единице поверхности, нормальной к направлению потока жидкости, сечение для прохода жидкости fж = 0, а сечение твердого скелета, участвующего в теплопроводности, равно fc = 1 – fж = 1 . p. Отметим также, что если удельный массовый расход натекающей жидкости равен G, то массовый расход внутри пластины будет равен G/р.

Процесс переноса теплоты в таком пористом теле можно представить как теплопроводность самой пластины и теплообмен между твердым телом и жидкостью, протекающей через поры пластины.

Плотность теплового потока за счет теплопроводности самой пластины в сечениях х и х + dx запишется:

В условиях стационарного режима изменение теплового потока на участке dx произойдет вследствие теплообмена между твердым телом и протекающей через поры жидкостью, т. е.

dq qx qx dx Gcрж dt

или

198

Если обозначить

то соотношение (а) запишется:

где (кроме обозначений, указанных на рис. 2.23); r – теплота парообразования; срж — теплоемкость жидкости; г и ж — коэффициенты теплоотдачи на поверхностях стенки, обра-

198

Коэффициент теплопроводности в уравнении (2.127) в общем случае должен учитывать теплопроводность твердого скелета стенки и охлаждающей жидкости. Для металлических пористых стенок, имеющих высокий коэффициент теплопроводности и малый суммарный объем пор, теплопроводностью жидкости можно пренебречь. В этом случае, как и в предыдущей задаче, можно принимать .

Опустив промежуточные выкладки, приведем окончательное решение уравнения (2.127) при граничных условиях

(2.128) и (2.129):

198

Если охлаждение пористой стенки осуществляется без испарения охлаждающей жидкости, т. е. r = 0, то уравнение (2.130) принимает вид:

2.13 Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты

В рассмотренных ранее задачах внутренние источники теплоты отсутствовали.

Однако в ряде случке внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или поглощаться теплота. Примерами таких процессов могут служить: выделение джоулевой теплоты при прохождении электрического тока по проводникам; объемное выделение теплоты в тепловыделяющих элементах атомных реакторов вследствие торможения осколков деления ядер атомного горючего, а также замедления потока нейтронов; выделение или поглощение теплоты при протекании ряда химических реакций и т. д.

198

t

t

ж

tc1

tc2

tж

x

0

Рис. 2.23 Пористое охлаждение пластины (граничные условия третьего рода)

При исследовании переноса теплоты в таких случаях важно знать интенсивность объемного выделения (поглощения) теплоты, которая количественно характеризуется мощностью внутренних источников теплоты qv, Вт/м3. Если величина qv положительна, то говорят, что в теле имеются положительные источники теплоты. При отрицательных значениях qv имеются отрицательные источники (стоки) теплоты.

В зависимости от особенностей изменения величины в пространстве можно говорить о точечных, линейных, поверхностных и объемных источниках теплоты.

Для стационарного режима при t/= 0 дифференциальное уравнение теплопроводности (1.24) при наличии источников теплоты имеет вид:

198

а) Теплопроводность однородной пластины

Рассмотрим длинную пластину, толщина которой 2— величина малая по сравнению с двумя другими размерами.

Источники теплоты равномерно распределены по объему и равны qv = const. Заданы коэффициенты теплоотдачи и температура жидкости вдали от пластины tж, причем = const и tж = const. Благодаря равномерному охлаждению температуры обеих поверхностей пластины одинаковы. При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х, направленной нормально к поверхности тела. Температуры на оси пластины и на ее поверхности обозначим соответственно через t0 и tc; эти температуры неизвестны (рис. 2.24). Кроме того, необходимо найти распределение температуры в пластине и количество теплоты, отданное в окружающую среду.

198

t = const

tж

Рис. 2.24 Теплопроводность плоской пластины при наличии внутренних источников теплоты

Дифференциальное уравнение (2.132) в рассматриваемом случае упрощается и принимает вид:

x

Поскольку граничные условия для обеих сторон пластины одинаковы, температурное поле внутри пластины должно быть симметричным относительно плоскости х = 0. Теплота с одинаковой интенсивностью отводится через левую и правую поверхности тела. Одинаково и тепловыделение в обеих половинах пластины. Это означает, что можно далее рассматривать

198

лишь одну половину пластины, например правую (рис. 2.24), и записать граничные условия для нее в виде

После интегрирования (2.133) получим:

Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из граничных условий (2.134).

При х = 0 из уравнения (2.135) получаем С1 = 0; при х = получаем:

В рассматриваемой задаче тепловой поток изменяется вдоль оси х:

q q v x .

198

При х = 0 и q = 0 (это следует из условия: при х = 0 имеем (dt/dx)x = 0 = 0) Тепловой поток с единицы поверхности пластины при x =

и общее количество теплоты, отданное всей поверхностью в единицу времени (вся поверхность F равна двум боковым поверхностям F1)

Из уравнения (2.137) следует, что температура в плоской стенке в случае симметричной задачи распределяется по параболическому закону.

Если в уравнении (2.137) положить , то полученное выражение будет представлять температурное поле для граничных условий первого рода, ибо при получим tж

tс.

С учетом сказанного уравнение (2.137) принимает вид:

При этом температура на оси симметрии пластины (х =

0)

а перепад температур между осью симметрии стенки и ее поверхностью

До сих пор мы полагали, что коэффициент теплопроводности материала стенки постоянен. При больших перепадах температур может возникнуть необходимость в учете зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. Часто эта зависимость имеет линейный характер:

0 1 bt .

Тогда

198

Разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получаем:

Подставляя найденное значение С в выражение (6) и решая квадратное уравнение относительно t, получаем следующее уравнение температурной кривой:

б) Теплопроводность однородного цилиндрического стержня

Рассмотрим круглый цилиндр (рис. 2.25), радиус которого мал по сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса.

Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему тел Заданы температура окружающей среды tж = const и постоянный по всей поверхности коэффициент теплоотдачи. При этих условиях температура во всех точках внешней поверхности цилиндра будет одинакова.

Для цилиндра, как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной. Уравнение (2.132) при этом имеет вид:

Граничные условия:

198