Методическое пособие 699

тогда

и формула (2-68) применительно к шаровой стенке принимает вид:

Интегрируя выражение (2.67) в пределах от n1 до любой текущей координаты и в интервале температур от tc1 до t, получаем уравнение для температурного поля:

Подставляя в полученное выражение значение теплового потока Q из (2.68), получаем:

I n

t t c1 t c1 t c2 nn1 . (2.72)

I n 2

1

198

In

Отношение n1 в уравнении (2.72) можно рассматривать

In 2

n1

как некоторую приведенную безразмерную координату Х, которая зависит от геометрической формы стенки. Уравнение (2.72) можно привести к безразмерному виду:

температурного поля в безразмерных величинах для всех трех геометрических форм.

Приведенная безразмерная координата в уравнении (2.73 ) вычисляется с учетом геометрической формы стенки:

198

Уравнения (2.68) и (2.73 ) получены при постоянном коэффициенте теплопроводности стенки. Аналог образом можно получить обобщенные зависимости и для случая, когда коэффициент теплопроводности является функцией температуры.

2.6 Пути интенсификации теплопередачи

а) Интенсификация теплопередачи путем увеличения коэффициентов теплоотдачи

Из уравнения теплопередачи

Q kF t

следует, что при заданных размерах стенки и температурах жидкостей величиной, определяющей теплопередачу, является k. Но поскольку теплопередача — явление сложное, то правильное решение можно найти только на основе анализа частных составляющих, характеризующих процесс. Так, например, если мы имеем дело с плоской стенкой, для которой

198

По формуле (2.77) находим, что коэффициенты теплопе-

только значениями коэффициентов теплоотдачи, но и размерами самих поверхностей. При передаче тепла через шаровую стенку влияние диаметров d1 и d2 оказывается еще сильнее, что видно из соотношений l/ 1d12 и l/ 2d22. Отсюда следует, что если мало, то термическое сопротивление теплоотдачи можно уменьшить путем увеличения соответствующей поверхности. Такой же результат можно получить и для плоской стенки, если одну из поверхностей увеличить путем оребрения. Последнее обстоятельство и положено в основу интенсификации теплопередачи за счет оребрения. При этом термические сопротивления станут пропорциональными величинами

Следует указать, что при использовании метода оребрения нужно руководствоваться следующими соображениями: если 1 << 2, то оребрять поверхность со стороны 1 следует до тех пор, пока 1F1 не достигает значения 2F2. Дальнейшее увеличение поверхности F1 малоэффективно. Ребристые поверхности изготавливаются или в виде сплошных отливок или отдельных ребер, прикрепленных к поверхности.

198

Строгое аналитическое решение задачи о распространения тепла в ребре связано со значительными трудностями. В основу решения поэтому кладут некоторые допущения, которые позволяют сравнительно простым путем получить нужный результат. Ниже рассмотрим метод решения задач о теплопроводности в ребрах простейших геометрических форм.

2.7 Теплопроводность в стержне (ребре) постоянного поперечного сечения

а) Дифференциальное уравнение его решения.

Ребра в поперечном сечении могут иметь профиль самой различной геометрической конфигурации (прямоугольник, круг, треугольник и другие фигуры, в том числе и неправильной геометрической формы).

t

Рис. 2-12 Перенос теплоты через стержень

198

Рассмотрим распространение тепла прямом стержне с постоянным поперечным сечением по длине. Обозначим площадь поперечного сечения стержня через f и периметр через u. Стержень находится в среде с постоянной температурой tж, коэффициент теплоотдачи от поверхности стержня к окружающей среде будем считать постоянным для всех поверхности. Будем полагать также, что коэффициент теплопроводности материала стержня достаточно велик, а поперечное сечение очень мало по сравнению с его длиной. Последнее дает основание пренебречь изменением температуры в поперечном сечении и считать, что она изменяется только вдоль оси стержня. Для удобства дальнейших выкладок отсчет температуры будем вести от tж = const. Отсчитанную таким образом избыточную температуру стержня обозначим через . Очевидно,

t t ж ,

где tж – температура среды, окружающей стержень; t – текущая температура стержня.

Если задана температура основания стержня t1 то избыточная температура стержня (рис. 2.12) будет:

1 t1 t ж .

На расстоянии х от основания стержня выделим элемент стержня длиной dx. Уравнение теплового баланса для рассматриваемого элемента можно записать:

Q x dQ , (а)

где Qx – количество теплоты, входящее в левую грань элемента за единицу времени; Qx+dx - количество теплоты, которое выходит из противоположной грани элемента за то же время; dQ – количество теплоты, отдаваемое за единицу времени наружной поверхностью элемента окружающей его среде.

198

Следовательно,

Приравнивая (б) и (в) получаем следующее дифференциальное уравнение, описывающее изменение температуры стержня:

величина m измеряется в 1/м.

Из выражения (г) видно, что для ребра, форма и размеры которого заданы, при условии постоянства коэффициента теплоотдачи p по всей поверхности и постоянства коэффициента в рассматриваемом интервале температур, величина m = const. Тогда общий интеграл для уравнения (2.78) будет:

Значения постоянных С1 и С2 определяются из граничных условий. Граничные условия могут быть заданы поразному в зависимости от длинны стержня и других факторов.

б) Стержень бесконечной длины

В начальном сечении стержня температура поддерживается постоянной, т. е. при х = 0 величина = 1. Если длина

198

Последнее равенство можно записать в виде:

1

где - безразмерная температура, выраженная в долях температуры 1 начального сечения стержня.

На рис. 2.13 представлена зависимость безразмерной температуры от длины стержня при различных значениях параметра m (m1 < m2 < m3).

= / 1

1

m1

m2

m3

x

0

Рис. 2.1 Изменение температуры по длине стержня

198

Из рассмотрения рис. 2.13 следует, что безразмерная температура убывает тем сильнее, чем больше множитель m.

пропорциональна теплоотдаче с боковой поверхности и обрат-

но пропорциональна f . фактору, определяющему передачу теплоты теплопроводностью вдоль стержня. Отсюда следует, что при оребрении нужно выбирать материал для ребер с большим коэффициентом теплопроводности. Последнее приводит к уменьшению m и сохранению больших избыточных температур вдоль стержня. При p / = const величина m возрастает с возрастанием u/f, что указывает на более эффективную работу ребер с профилями, имеющими меньшее отношение u/f при том же поперечном сечении.

Количество теплоты, передаваемое стержнем окружающую среду, очевидно, будет равняться количеству теплоты, проходящему через его основание.

Через основание стержня проходит тепловой поток

здесь Q измеряется в ваттах.

Из уравнения (2.80) находим:

Подставляя значение градиента температуры при x = 0 в предыдущее уравнение для теплового потока, получаем формулу, определяющую количество теплоты, отданное стержнем в окружающую среду:

в) Стержень конечной длины

Для стержня конечной длины дифференциальное урав-

198

нение (2.78) и его решение (2.79) сохраняет силу, но граничные условия будут другими:

где l – температура на конце стержня; l – коэффициент теплоотдачи с торца стержня.

При х = 1 имеет место равенство количества теплоты, подведенного к торцу стержня за счет теплопроводности и количества теплоты, отдаваемого поверхностью торца в окружающую среду за счет теплоотдачи. Для определения постоянных С1 и С2 в уравнении (2.79) используем граничные усло-

вия (2.82):

Из полученных уравнений (2.82) определяем постоянные С1 и С2:

198