Методическое пособие 699

Из уравнений (2-31) следует, что при заданном значении

qc

Если мы имеем многослойную стенку, состоящую из n однородных слоев, то температура на ее поверхностях и на границе слоев может быть определена по следующим уравнениям:

на внешней правой поверхности

2

на внешней левой поверхности

на поверхности между слоями m - 1 и m

Распределение температуры внутри любого слоя найдется по уравнениям (2.7) или (2.14).

2.2 Передача теплоты через цилиндрическую стенку (q= 0)

а) Граничные условия первого рода

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d1 = 2r1 и наружным диаметром d2 = 2r2 (рис. 2.6).

На поверхностях стенки заданы постоянные температуры tc1 и tc2. В заданном интервале температур коэффициент теплопроводности материала стенки является постоянной величиной. Необходимо найти распределение температур в цилинд-

198

рической стенке и тепловой поток через нее.

В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат:

При этом ось Oz совмещена с осью трубы.

При заданных условиях температура изменяется только в радиальном направлении и температурное поле будет одномерным. Поэтому

Кроме того, так как температуры на наружной и внутренней поверхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являются цилиндрическим имеющими с трубой общую ось. Тогда температура не должна изменяться также вдоль , т. е.

С учетом (а) и (б) уравнение (2-34) примет вид:

Если решить уравнение (2.35) совместно с (2.36), получим уравнение температурного поля в цилиндрической стенке.

Введем новую переменную

тогда

198

Подставляя (в) и (г) в уравнение (2.35), получаем:

198

Полученное выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим.

В случае плоской стенки плотность теплового потока q остается одинаковой для всех изотермических поверхностей. По этой причине градиент температуры сохраняет для всех изотермических поверхностей постоянную величину. В случай цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую стенку зависит от радиуса.

t

r

0

2r1

2r2

Рис. 2.6 Теплопроводность цилиндрической стенки

Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую поверхность величиной F в единицу времени,

198

можно воспользоваться законом Фурье:

Q drdt F .

Подставляя в уравнение закона Фурье значение градиента температуры согласно уравнению (е), получаем (учитывая,

что F = 2 rl):

здесь Q изменяется в ваттах.

Из уравнения (2.40) следует, что количество теплоты, проходящее через цилиндрическую стенку в единицу времени, полностью определяется заданными граничными условиями и не зависит от радиуса.

Тепловой поток (2.40) может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности. При этом расчетные формулы для плотности теплового потока, Вт/м2, принимают вид:

(поток теплоты, проходящий через единицу длины трубы, Вт/м).

Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, измеряется в Вт/м и называется линейной плотностью тепло-

198

вого потока. Как видно из уравнения (2.43), при неизменном отношении d2/d1 линейная плотность теплового поток не зависит от поверхности цилиндрической стенки. Плотности теплового потока q1 и q2 (отнесенные к внутренней и внешней поверхности) в случае передачи теплоты через трубу неодинаковы, причем всегда q1 > q2. Последнее ясно видно из уравнений

(2.41) и (2.42).

Из уравнений (2.41) – (2.43) легко установить связь между величинами q1, q2 и q3:

что тепловой поток можно вычислить по той же формуле, что

ется среднеинтегральным значением коэффициента теплопроводности:

на Фурье, записанного для цилиндрической стенки:

Если разделить переменные и проинтегрировать уравне-

ние (2.46) в пределах от r = r1 и от t = tc1 до t и найти из полученного интеграла t, получим выражение для температурного

поля следующего вида:

198

б) Граничные условия третьего рода (теплопередача)

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) с постоянным коэффициентом теплопроводности . Заданы постоянные температуры подвижных сред tж1 и tж2, и постоянные значения коэффициентов теплоотдачи на внутренней и наружной поверхностях трубы 1 и 2 (рис. 2-7).

t

198

Необходимо найти ql, и tc. Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями теплоты с торцов можно пренебречь, и при установившемся тепловом режиме количество теплоты, которое будет передаваться от горячей среды к поверхности стенки, проходить через стенку и отдаваться от стенки к холодной жидкости, будет одно и то же.

Следовательно, можно написать:

Складывая уравнения, входящие в систему (2.48 ), получаем температурный напор:

Обозначим:

198

Величина kl называется линейным коэффициентом теплопередачи, он измеряется в Вт/(м К). Он характеризует интенсивность передачи теплоты от одной подвижной среды к другой через разделяющую их стенку. Значение kl численно равно количеству теплоты, которое проходит через стенку длиной 1 м в единицу времени от одной среды к другой при разности температур между ними 1 град.

Величина Rl = 1/kl, обратная линейному коэффициенту теплопередачи, называется линейным термическим сопротивлением теплопередачи. Она равна

здесь Rl измеряется в м К/Вт.

Отдельные составляющие полного термического сопротивления представляют собой:

1 / 1d1 и 1 / 2d2 - термические сопротивления теплоотдачи на соответствующих поверхностях, обозначим их соответственно

ности стенки, обозначим его через Rlc.

Следует отметить, что линейные термические сопротивления теплоотдачи для трубы определяются не только коэффициентами теплоотдачи 1 и 2, но и соответствующими диаметрами.

Если тепловой поток через цилиндрическую стенку отнести к внутренней или наружной поверхности стенки, то получим плотность теплового потока, Вт/м2, отнесенную к единице соответствующей поверхности трубы:

198

Последнее соотношение устанавливает связь между коэффициентом теплопередачи при отнесении теплового потока к единице длины цилиндрической стенки и к единице поверхности:

k l d1k1 d 2 k 2 ;

здесь kl измеряется в Вт/(м К).

Формулы же для k1 и k2, Вт/(м2 К), в развернутом виде имеют вид:

На практике часто встречаются цилиндры, толщина стенок которых мала по сравнению с диаметром. В этом случае при расчетах можно пользоваться упрощенными формулами. Для получения таких формул поступим следующим образом.

Величину ln d 2 разложим в ряд: d1

198