Методическое пособие 699

Постоянная в уравнении (3.46) определяется из граничных условий (r = r0), решение которых приводит к характеристическому уравнению

здесь J1 ( ) — функция Бесселя первого рода первого порядка. Уравнение (3.47) является трансцендентным, и его удоб-

но решать графическим способом, обозначив:

/ Bi y1 ; J 0 / J1 y2 .

Отметим, что y2 обращается в нуль в тех точках, для ко-

торых J0( ) = 0.

В тех точках, в которых функция J1( 1) обращается в нуль, функция y2 претерпевает разрыв непрерывности и становится равной ± . Функции J0( ) и J1( ) являются периодическими затухающими функциями, а кривая y2 = J0( )/J1( ) напоминает котангенсоиду, но с убывающим периодом. Функция y1 = /Bi графически представляет прямую линию, проходящую через начало координат. Выполнив построение, как показано на рис. 3.10, в точках пересечения функции у2 с прямой y1 получим значения корней характеристического уравнения (3.47). Из рис. 3.10 следует, что уравнение (3.47) имеет бесчисленное множество решений, а сами корни, как и для пла-

приведены в табл. 3.2 для различных значений числа Bi (от 0 до ).

Общее решение будет суммой всех частных решений

(3.46):

Постоянная Сn в уравнении (3.48) находится из начальных условий.

198

198

J

J0

0,8

Рис. 3.10 К решению уравнения (3-47)

198

Видим, что (3.49) представляет собой разложение функции F(r) в ряд Фурье по функциям Бесселя, а для такой последовательности числа Cn определяются по формуле

198

Уравнение (3.52) справедливо при любом начальном распределении температуры з цилиндре.

Если в начальный момент времени (= 0) температура распределена равномерно, т. е. 0 = F(r) = const, то интеграл в уравнении (3.52)

Для этих условий уравнение температурного поля принимает вид:

a/г20 = Fo — число Фурье для цилиндра.

Сучетом этих обозначении последнее выражение запишется в виде

Заметим, что все принципиальные выводы, сделанные при анализе решения для пластины, справедливы и для цилиндра.

Из характеристического уравнения (3.47) видно, что корни n зависят только от Bi. Поэтому уравнение температурного поля можно представить в виде обобщенной функции от безразмерных параметров:

198

Если рассматривать значение температуры на оси цилиндра (R = 0), то уравнение (3.53) запишется следующим образом:

На поверхности цилиндра

При Bi (практически Bi > 100) прямая совпадает с осью абсцисс и корни характеристического уравнения не зависят от Bi, а определяются из условий J0( ) = 0.

В этом случае процесс охлаждения определяется физическими свойствами тела и его геометрическими размерами. При этом уравнение (3.53) принимает вид:

росходящимися, что можно ограничиться первыми членами ряда, и тогда 2 = 2Bi.

Действительно,

откуда получаем:

2Bi .

Кроме того, коэффициенты всех членов ряда бесконечной суммы (3.53) равны нулю, за исключением коэффициента

198

отношение температур на оси и поверхности цилиндра будут стремиться к единице, т. е.

Последнее указывает на то, что температура по толщине цилиндра распределена равномерно и практически не зависит от радиуса цилиндра. Задача становится внешней и протекание процесса определяется условиями охлаждения на поверхности цилиндра.

Если Fo 0,25, при вычислении безразмерной температуры можно ограничиться первым членом ряда. Допускаемая при этом ошибка не превысит 1%. Тогда безразмерные температуры на оси и поверхности цилиндра могут быть вычислены по формулам:

на оси цилиндра

Функции N0(Вi) и P0(Bi) могут быть заранее рассчитаны и сведены в таблицы (см. [Л. 82, 164, 182]). Поскольку в уравнениях (3.61) и (3.62) является функцией только двух безразмерных параметров

198

то для определения температуры на оси поверхности цилиндра можно построить графики, показанные на рис. 3.11 и 3.12.

198